Clasificación y Ordenación en Matemáticas: Relaciones de Equivalencia y Orden

Clasificación y Ordenación

Las actividades de clasificar y ordenar están presentes en nuestra vida cotidiana (noticias de los periódicos, centros públicos, organismos, empresas, nuestras viviendas, en todas las ramas del saber...).

Objetivos que persiguen

• Funcionales: Su labor organizativa representa para nosotros un criterio muy importante de utilidad.
• Descriptivos: Se utilizan para describir y estudiar muchas situaciones y conceptos.
• Constructivos: Se utilizan para definir y construir conceptos.

Por todo lo anterior, queda justificado que las actividades de clasificación y ordenación reciban un tratamiento específico en nuestra formación matemática. Lo hacemos a través de los conceptos de: relación de equivalencia y relación de orden respectivamente.

Relaciones Binarias

Par ordenado

Es un par de elementos en un orden determinado. Normalmente lo representamos así: (a,b). Al primero (a) se le llama primer componente del par y al segundo (b) se le llama segundo componente del par.

Igualdad de pares ordenados

Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si tienen iguales los primeros componentes y también son iguales los segundos componentes. (a,b)=(c,d) => a=c y b=d.

Producto cartesiano de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano A x B y se representa así: A x B = {(a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Relación binaria entre dos conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se llama "relación binaria R entre A y B" a cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B, es decir, R ⊆ A x B.

Subconjunto: Un conjunto se dice que está incluido en otro o que es subconjunto si todo elemento del primero es elemento del segundo.

Relación binaria en un conjunto

Definición: Dado un conjunto A, se dice que R es "una relación binaria R definida en A" si es un subconjunto del producto cartesiano A x A, lo que denotamos R ⊆ A x A. Siendo a, b ∈ A, se dice que "a está relacionado con b" y se expresa aRb si el par ordenado que determinan dichos elementos está en R.

Formas de definir una relación binaria en un conjunto

Si una relación R es finita (tiene un número finito de elementos) se puede definir de dos formas:

1. Definición por extensión: Se dan todos y cada uno de los elementos en la relación R.
2. Definición por comprensión: Se da el criterio por el que dos elementos cualesquiera están relacionados y, por tanto, nos permite saber si un par de elementos cualesquiera pertenece o no a la relación R.

Propiedades de una Relación Binaria

Siendo R una relación binaria definida en un conjunto A, se dice que es:

• Reflexiva: Si todo elemento de A está relacionado consigo mismo. ∀x ∈ A, xRx.
• Simétrica: Si entre dos elementos x, y ∈ A hay relación en un sentido (xRy), entonces debe haber relación en el otro sentido (yRx). xRy → yRx.
• Transitiva: Siendo x, y, z ∈ A, si se cumple xRy ∧ yRz → xRz.
• Antisimétrica: La relación R es antisimétrica si siempre que se da la doble relación entre dos elementos, entonces dichos elementos son iguales. xRy ∧ yRx → x=y.
• Conexa: Si cualquier par de elementos están relacionados al menos en un sentido. ∀a,b ∈ A, aRb ∨ bRa.

Relación de Equivalencia

Definición: Una relación binaria R definida en un conjunto A se dice que es relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Definición de clase de equivalencia

Fijado un elemento a ∈ A, llamaremos "clase de equivalencia de a" al conjunto de elementos de A que están relacionados con a. [a] = {x ∈ A | xRa} ⊆ A.

Conjunto cociente

Es el conjunto de todas las clases de equivalencia que determina la relación R en el conjunto A. A/R = {[x] | x ∈ A}.

Propiedades de las clases de equivalencia

Siendo R una relación de equivalencia definida en un conjunto A, se cumplen las siguientes propiedades:

1. Cualquier clase de equivalencia es un conjunto no vacío, es decir, tiene algún elemento. ∀[x] ∈ A/R, [x] ≠ ∅. Esto es porque al ser R relación de equivalencia, cumple la propiedad reflexiva y, por tanto, ∀x ∈ A, xRx; luego al menos x ∈ [x]. Es decir, cada clase de equivalencia tiene al menos un elemento: el representante de la clase.
2. Si dos elementos pertenecen a la misma clase de equivalencia, están relacionados entre sí. b, c ∈ [a] => bRc.
3. Cualquier elemento de una clase de equivalencia puede ser su representante. b ∈ [a] => [b] = [a].
4. Dos clases de equivalencia distintas son disjuntas, es decir, no tienen elementos en común. [a] ≠ [b] => [a] ∩ [b] = ∅.
5. La unión de todas las clases de equivalencia es igual al conjunto A. ∪[x] = A.

Relación de Orden. Seriación

Definición: Una relación binaria R definida en un conjunto A se dice que es una relación de orden si cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Orden parcial y orden total

Siendo R una relación de orden definida en un conjunto A, diremos que R es una relación de orden total si además cumple la propiedad conexa. Diremos que R es una relación de orden parcial si no cumple la propiedad conexa.

El diagrama de Hasse

Es una representación gráfica exclusiva de las relaciones de orden. En ella se representan las relaciones existentes entre pares de elementos distintos mediante flechas que indican el orden en la relación. En esta representación se entiende que dos elementos están relacionados si se puede pasar de uno a otro siguiendo la dirección de la flecha.