Transformada de Fourier i Ortogonalitat: Conceptes Clau

Interès de la Transformada de Fourier

• Electrònica
• Teoria del senyal
• Telecomunicacions
• Òptica
• Acústica
• Radar
• Tractament d’imatges

Producte de convolució discret (FFT)

La Fast Fourier Transform (FFT) té una complexitat computacional de O(N log N).

• Cal fer una FFT per cadascuna de les dues imatges sobre les quals s'ha de fer el producte de convolució.
• Cal una antitransformada en acabar el producte.
• En total, es requereixen 3 Transformades ràpides de Fourier.
• Espai imatge: O(N²).

Filtrat a l’espai de freqüències

Consisteix en l'eliminació de freqüències concretes:

• Mesura d’elements periòdics.

Vectors ortogonals

• Direm que dos vectors són ortogonals si el seu producte intern és igual a zero: (u, v) = 0.
• El producte intern es defineix com: u · v = 0.

Producte intern

El producte interior o producte escalar de dos vectors en un espai vectorial és una operació donada per: V × V → K (on V és l’espai vectorial i K és el cos sobre el qual està definit).

Ha de complir les següents propietats:

• [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z]
• [x, y] = [y, x] (hermítica)
• [x, x] ≥ 0 (definida positiva)

Base ortogonal

Quan un conjunt de vectors {u₁, u₂, ..., uₙ} satisfà que (uᵢ, uⱼ) = 0 per a qualsevol i ≠ j amb i, j = 1, ..., n, es diu que els elements d’aquest conjunt són mútuament ortogonals i formen una base ortogonal a l’espai Rⁿ.

Qualsevol vector w d’aquest espai pot expressar-se com una combinació lineal d’aquesta base: w = a₁u₁ + a₂u₂ + ... + aₙuₙ.

Funcions ortogonals

El concepte d’ortogonalitat pot ser estès a conjunts de funcions. Direm que els membres d’un conjunt de funcions S = {f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t), ...} formen un conjunt ortogonal sobre l’interval a < t < b si:

∫ fₙ(t)fₘ(t) dt = 0 si n ≠ m.

Base particular de funcions ortogonals

En el marc de les transformades de Fourier ens interessa un conjunt particular de funcions mútuament ortogonals S = {..., e⁻ⁱ³ʷ⁰ᵗ, e⁻ⁱ²ʷ⁰ᵗ, ...} que compleixen:

∫ (1/T₀) eⁱⁿʷ⁰ᵗ dt = 0 si n ≠ m; 1 si n = m.

Sèries de Fourier per funcions periòdiques

Sigui f(t) una funció periòdica de període T₀. Aleshores la podrem expressar com una suma infinita d’exponencials complexes (ja que aquest conjunt de funcions són una base). Els termes F(n) són els coeficients de Fourier.