Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Teorema 1.18 (Principio de la buena ordenación de los naturales)

Todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo.

Demostración

Sea A un subconjunto no vacío de N. Si 1 &in; A es claro que 1 = min A. Suponemos entonces que 1 ∉ A y consideremos el siguiente conjunto B = {n &in; N : n < 1}. Si B fuese inductivo, coincidiría con N, en particular, contendría al propio conjunto A. Entonces, cada elemento de A es estrictamente menor que sí mismo. Puesto que esto no puede ocurrir, el conjunto B no es inductivo. Es claro que 1 &in; B. Entonces existe n &in; B tal que n + 1 &in; B. De ello se deduce, por una parte, que n < n + 1, y por otra, existe x &in; A tal que x = n + 1. La primera condición implica que n + 1 >... Continuar leyendo "Teoremas Fundamentales de Análisis Matemático: Convergencia y Funciones Exponenciales" »

Asíntotas

Ejemplo: f(x) = x² / (4 - x)

Importante: Si una función tiene asíntota horizontal, NO tendrá oblicua.

Asíntota Vertical

Se expresa como x = k. En el ejemplo, x = 4. La asíntota vertical se encuentra donde la función NO existe, es decir, en el dominio.

Asíntota Horizontal

Se expresa como y = k. Se calcula como:

lim_x→∞ f(x)

• Si el exponente de x es mayor en el numerador, el límite es infinito y NO hay asíntota horizontal.
• Si la x de mayor exponente está en el denominador, el límite vale cero y SÍ hay asíntota horizontal en y = 0.
• Si los exponentes son iguales en el numerador y el denominador, el límite vale la división de los coeficientes de las x mayores arriba y abajo.

Asíntota Oblicua

Se expresa como y = mx + n. Para que... Continuar leyendo "Conceptos matemáticos avanzados: asíntotas, dominio, cálculo integral y más" »

matrises:

definimos una matriz como una agrupación de elementos dispuestos en filas y columnas, enredados entre corchetes, paréntesis o doble barra,. Los simbolizamos con una letra mayúscula y a los elementos con minúsculas. (CUADRO) todo elemento general de la matriz se simboliza como: A_ij= subíndice I son las filas; subíndice J son las columnas. Llamamos orden de una matriz al numero de filas y columnas  que contiene.

Clasificación de matrices:

Matriz cuadrada: es aquella que tiene el mismo numero de filas que de columnas. * matriz rectangular: cuando el numero de filas es distinto al numero de columnas, nos queda definida una matriz rectangular, es decir M (distinto) N. * matriz diagonal: la diagonal principal es la que va desde el... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Definición, Clasificación y Operaciones con Matrices" »

Inversa de una Matriz

Sea A una matriz de orden n. Si existe su inversa, se simboliza como A^-1 y es una matriz de orden n tal que verifica la siguiente igualdad: A · A^-1 = A^-1 · A = I.

Matrices No Singulares o Regulares

Son las matrices cuadradas que poseen inversa.

Matrices Singulares o No Regulares

Son las matrices cuadradas que no poseen inversa.

Propiedades de la Matriz Inversa

1. Si A es una matriz no singular y se verifica que AB = I, entonces BA = I. Esto significa que si una parte cumple con la definición de matriz inversa, la otra también lo hace.
2. La inversa de una matriz es única. Si AB = AC = I, entonces B = C, lo que implica que B y C cumplen las condiciones para ser inversas de la matriz A.
3. La inversa de un producto de dos matrices no

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central son valores que representan el centro de un conjunto de datos. Las más comunes son la moda, la mediana y la media aritmética.

Moda (Mo)

La moda es el valor de la variable que más se repite en un conjunto de datos. Se busca en la columna de frecuencia absoluta (fi). Al reportar la moda, se indica el valor de la variable (Xi) correspondiente, no la frecuencia.

• Si los datos están agrupados en intervalos (límites reales), se calcula la marca de clase (Xi) para encontrar la moda: Xi = (Ls + Li) / 2, donde Ls es el límite superior y Li es el límite inferior.
• Si los datos tienen límites aparentes, se deben convertir a límites reales. Para ello:
  • Se toma el primer límite inferior

L1: 500 horas y 1.000.000 euros. L2: 250 horas y 900.000 euros.

Leche: 6€/litro. Coste fabricación: 352€/hora. Se dispone de 200 horas.

Previsiones

Reales

Coste Materia Prima

• 42000 * 6,1 = 256200
• 18000 * 5,4 = 97200
• 60000 * 5,89 = 353400

Desviación Global

115000,56 - 170400 = -55399,5

Desviación por efectos

Efecto Económico vs. Efecto Técnico

Error Experimental

Las mediciones científicas están sujetas a errores e incertidumbre, principalmente debido a fallos en calibraciones y resultados, aunque también pueden surgir de errores humanos. Estos errores pueden minimizarse para lograr una mayor precisión y exactitud, aunque siempre se trabaja con una estimación del valor real, analizando los resultados en un contexto de probabilidad. El error máximo aceptable se calcula según el método y el tiempo del análisis. Para minimizarlo, los laboratorios suelen repetir el proceso con varias muestras (de dos a cinco), obteniendo un valor más preciso. Estas variaciones permiten calcular la incertidumbre de la medida.

Conceptos Relacionados con los Errores:

• Precisión: Cercanía de los resultados

Extremos Absolutos y Relativos

Extremos Absolutos

Máximo absoluto: Una función escalar F en un conjunto D tiene un máximo absoluto si existe al menos un punto c en D tal que el valor de la función en ese punto no es superado por ningún otro punto en D. Definición simbólica: F(c) es máximo absoluto de F en D <=> ∀x:(x∈D => f(x) ≤ f(c)).

Mínimo Absoluto: El valor f(c) es el mínimo de la función f en el conjunto D si y solo si f(c) no supera a ninguno de los valores de f(x) que alcanza la función en el conjunto D. Definición simbólica: f(c) es mínimo absoluto de f en D <=> ∀x:(x∈D => f(x) ≥ f(c)).

Extremos Relativos

Máximo relativo o local: Su definición simbólica sería f(x₀) máximo local <=>... Continuar leyendo "Exploración de Extremos, Concavidad y Teoremas Fundamentales del Cálculo" »

El Proceso de Muestreo

Pertinencia y Razones del Muestreo

Es necesario proceder a seleccionar muestras por razones técnicas y de factibilidad:

• Como posibilidad de generalización o aproximaciones hacia una población.
• De tiempo.
• De costos.

Algunos Conceptos Básicos

• Caso: Sujeto(s), unidad acerca de la cual se solicita información (individuos, grupos de personas, objetos). Se llama también unidad de estudio o de información.
• Población: Total de casos. La población se define en términos de casos, unidades de muestreo, lugar y tiempo.
• Base o marco de muestreo: Lista de todos los casos poblacionales.
• Muestra: Subconjunto de casos de la población. Parte del colectivo. Puede ser:

1. Muestra representativa: Muestra que tiene la misma estructura o

Clasificación y Ordenación

Las actividades de clasificar y ordenar están presentes en nuestra vida cotidiana (noticias de los periódicos, centros públicos, organismos, empresas, nuestras viviendas, en todas las ramas del saber...).

Objetivos que persiguen

• Funcionales: Su labor organizativa representa para nosotros un criterio muy importante de utilidad.
• Descriptivos: Se utilizan para describir y estudiar muchas situaciones y conceptos.
• Constructivos: Se utilizan para definir y construir conceptos.

Por todo lo anterior, queda justificado que las actividades de clasificación y ordenación reciban un tratamiento específico en nuestra formación matemática. Lo hacemos a través de los conceptos de: relación de equivalencia y relación de orden... Continuar leyendo "Clasificación y Ordenación en Matemáticas: Relaciones de Equivalencia y Orden" »