Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Relación Binaria de Orden y de Equivalencia sobre un Conjunto A

Dado un conjunto $A$, una relación binaria en $A$ es un subconjunto $R$ del producto cartesiano $A \times A$, es decir, $R \subseteq A \times A$.

Relación de Orden

La relación $R$ es de orden si cumple las siguientes tres propiedades de las relaciones binarias:

• Reflexiva

  Se cumple si para todo elemento $a \in A$, se tiene $aRa$. (Ejemplo: $1R1, 2R2, \dots$)

• Antisimétrica

  Si $aRb$ y $bRa$, entonces $a=b$. (El ejemplo original es confuso, pero la propiedad se cumple si, por ejemplo, existe $1R2$ y no existe $2R1$, a menos que $1=2$).

• Transitiva

  Si $aRb$ y $bRc$, entonces $aRc$. (Ejemplo: si existe $1R2$ y $2R3$, por tanto, existe $1R3$).

Relación de Equivalencia

Así mismo, una relación... Continuar leyendo "Fundamentos Matemáticos Esenciales: Relaciones, Álgebra Lineal y Teoremas Clave" »

Validez Criterial

Supuestos para Inferencias

Para realizar inferencias válidas, se deben considerar los siguientes supuestos:

• Especificación correcta del modelo: En el caso de un único predictor, esto implica la linealidad de la relación.
• Variables medidas sin error: Se asume que las variables han sido medidas con precisión.
• Supuestos sobre el error:
  • Esperanza matemática nula.
  • Homocedasticidad de los valores de X (varianza constante del error para todos los niveles del predictor).
  • Independencia de los errores o de las observaciones.

Fases de Inferencia

Las inferencias se realizan en dos fases principales:

• Sobre el modelo global: Se evalúa si el modelo reduce los errores que se cometerían en su ausencia.
• Sobre los coeficientes: Se contrastan hipótesis

Definición Clásica de Probabilidad según Laplace

Se suele denominar definición clásica, por ser una de las primeras definiciones que fueron propuestas. Debemos conocer su espacio muestral asociado E (número de resultados posibles supuestamente equiprobables) y, además, el número de resultados posibles de que consta cualquier suceso o subconjunto de E, por lo que, antes de realizar el experimento, podemos atribuir la correspondiente probabilidad a cualquier suceso. También se denomina definición de Laplace, por ser atribuida a él.

Definición

Dado un experimento aleatorio con un espacio muestral finito E, gozando de la particularidad de que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir al efectuar una prueba del... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Distribución Normal" »

Eficiencia Técnica: Técnicamente eficiente en el proceso productivo es cuando no existe otro proceso productivo disponible que utilice menos cantidad de un factor y no más de los restantes, utilizando la misma cantidad del producto.

Conceptos Fundamentales en Estadística Inferencial

Llamaremos estadístico a cualquier función de la muestra aleatoria simple. Si estamos interesados en estudiar distintas características de la población X, el procedimiento es estudiarla sobre la muestra elegida de dicha población e inferir dichas características a la población.

Requisitos para una Inferencia Fiable

Lógicamente, para que la inferencia sea válida, se deben cumplir ciertas condiciones:

• La muestra debe ser representativa de la población.
• La inferencia ha de hacerse en términos de probabilidad, por lo que los elementos han de ser elegidos al azar, sin tendencias ni predisposiciones sistemáticas.
• Hay que dar una medida del posible error de la inferencia.

El Tamaño de la Muestra

Otro... Continuar leyendo "Fundamentos de la Inferencia Estadística: Muestreo, Estimación y Confianza" »

3.2. Determinación de Largos de Pares y Limatones

Figura 11-44: Se determina el número de veces que la unidad de proyección está contenida en el limatón.

Se generan dos triángulos (el triángulo amarillo y el triángulo lila), cuyos catetos serán la proyección del par o del limatón, según corresponda, y la altura de la cumbrera medida desde la cara superior de la solera de amarre. Es importante notar que esta solera se encuentra en el mismo plano que las proyecciones del limatón y del par común (todos estos son datos conocidos).

Figura 11-45: Triángulos imaginarios para determinar los largos del limatón y del par común.

Al calcular la hipotenusa de estos dos triángulos, se obtiene la longitud del par común (correspondiente al triángulo... Continuar leyendo "Cálculo de Longitudes de Limatones y Pares en Estructuras de Techumbre" »

Análisis Estadístico

4. Grupos con Comportamientos Similares

Si existen grupos de algo con comportamientos similares respecto a alguna variable cuantitativa, se pueden caracterizar las peculiaridades de los segmentos resultantes.

El objetivo es agrupar personas con comportamientos similares según alguna variable cuantitativa.

Procedimiento Cluster

• CLUSTER: Analizar, clasificar, conglomerados jerárquicos, insertar la variable que se quiere segmentar.
• Guardar: rango de soluciones (mínimo 2, máximo 4).

Se crean nuevas variables (CLU2, CLU3, CLU4) que representan los clústeres.

Es preciso realizar los descriptivos de estos 3 factores para observar el tamaño y medias por grupo.

• Analizar, estadísticos descriptivos, frecuencias, incluir los 3 CLUSTERS.

¿Qué son los datos estadísticos?

Son los valores que se obtienen al llevar a cabo un estudio de tipo estadístico; se trata del producto obtenido de la observación.

Tipos de Datos

¿Qué son los datos internos?

Son los registros obtenidos de la organización que se generan al realizar un estudio estadístico.

¿Qué son los datos externos?

Son registros obtenidos fuera de una organización; se obtienen a través de publicaciones y encuestas.

Conceptos de Población y Muestra

¿Qué es población?

Es un conjunto de todos los individuos que poseen información sobre el fenómeno que se estudia.

¿Qué es muestra?

Es un subconjunto de elementos pertenecientes a la población.

¿Qué es unidad estadística?

Es cada individuo, animal o cosa al que se le... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística para la Toma de Decisiones" »

Introducción a la Estadística Descriptiva e Inferencial

El análisis descriptivo es el punto de partida para el estudio de las poblaciones. Por otro lado, la inferencia estadística requiere de una herramienta fundamental llamada probabilidad, que permite medir el grado de incertidumbre en las conclusiones.

Distribuciones de Probabilidad Clave

En estadística, se utilizan diferentes modelos de probabilidad para describir el comportamiento de los datos. Algunos de los más importantes son:

• Distribución de Poisson: Surge del estudio del número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio determinado.
• Distribución Normal: Es una distribución simétrica, donde los valores más probables se concentran en el centro y los menos probables

1. Teorema del Seno

El área de un triángulo es igual a:

S = (a * h₁) / 2 = (b * h₂) / 2 = (c * h₃) / 2

Del dibujo se obtiene:

• Sen(β) = h₁ / c
• Sen(γ) = h₁ / b
• Sen(α) = h₂ / c = h₃ / b

Despejando, tenemos:

• h₁ = Sen(β) * c = Sen(γ) * b
• h₂ = Sen(α) * c
• h₃ = Sen(α) * b

Ahora, por la primera igualdad del área, tenemos:

a * Sen(β) * c = a * h₁ = b * h₂ = b * Sen(α) * c ⇒ a * Sen(β) = b * Sen(α)

Y también:

a * Sen(γ) * b = a * h₁ = c * h₃ = c * Sen(α) * b ⇒ a * Sen(γ) = c * Sen(α)

Dividiendo en ambas igualdades, obtenemos finalmente:

a / Sen(α) = b / Sen(β) = c / Sen(γ)

2. Cálculo de Paralajes

Para calcular la distancia desde un punto, A o B, hasta un objeto X al cual no podemos acceder, basta efectuar una triangulación, o sea, tomar la referencia... Continuar leyendo "Teorema del Seno y Cálculo de Paralajes: Aplicaciones en Trigonometría" »