Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Conceptos Fundamentales de Estimación Estadística

Estimación Puntual

Si a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor como estimación de un parámetro de la población desconocido, el procedimiento se denomina estimación puntual.

Estimación por Intervalo

Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza.

Estimación de la Media de una Población

Uno de los métodos para estimar la media de una población es a través de intervalos de confianza. La principal ventaja que este método ofrece al realizar inferencia estadística es que su resultado cuenta... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Estimación Estadística y Modelos de Relación" »

Variables y Atributos en Estadística

En estadística, medimos las variables en términos cuantitativos. A cada medición se la conoce como valor, dato u observación. Dependiendo del número posible de valores que tome una variable, puede ser:

Variable Discreta

Variable para la que se dan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. El número de valores es finito o infinito numerable.

Sí tienen decimal.

Variable Continua

Cuando el número de sus valores es infinito NO numerable.

Nunca se puede medir exactamente. Siempre habrá error de medida.

Además, NO tienen decimal.

Atributos

No pueden medirse como pasa con las variables.

Son caracteres cualitativos.

Podemos describirlos mediante palabras y clasificarlos en categorías NO

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f(x)=k f'(x)=0
f(x)=x f'(x)=1
f(x)=kx f'(x)=k
f(x)=kx+b f'(x)=k
f(x)=x? f'(x)=nx?^-1
f(x)=u(x)+v(x) f'(x)=u'(x)+v'(x)
f(x)=u(x)*v(x) f'(x)=u(x)*v'(x)+v(x)*v'(x)
f(x)=u(x)/v(x) f'(x)=v(x)*u'(x)-u(x)*v'(x)/[v(x)]²
f(x)=[u(x)]? f'(x)=[u(x)]?^-1*u'(x)
f(x)=sen x f'(x)=cos x
f(x)=sen[u(x)] f'(x)=cos u*u'
f(x)=cos x f'(x)=-sen x
f(x)=cos u f'(x)=-sen u*u'
f(x)=tan x f'(x)=sec²x
f(x)=tan u f'(x)=sec²u*u'
f(x)=cot x f'(x)=sec x*tan x
f(x)=cot u f'(x)=-csc u*cot u*u'
f(x)=sec x f'(x)=sec x*tan x
f(x)=sec u f'(x)=sec u*tan u*u'
f(x)=csc x f'(x)=-csc x*cot x
f(x)=csc u f'(x)=-csc u*cot u* u'

1.?kdx=kx+c
2.?1/x dx= ln x+ c
3.?xⁿdx= xⁿ⁺¹/n+1+c
4.?e^xdx=e^x+c
5.?a^xdx=a^x/ln a+c para a>0
6.?senx dx=-cos x +c
7.?cosx dx= sen x+c
8.?sec²x dx=tanx+c
9.?csc²xdx=-cotx+c
10.?tanx secx dx=... Continuar leyendo "Derivadas e integrales" »

u(n+2)+(b-1)*u(n+1)+(1-b)*u(n)=0 u(0)=1 u(1)=1-b

Resolver recurrencia:
U:=rsolve({u(n+2)+(b-1)*u(n+1)+(1-b)*u(n)=0,u(0)=1,u(1)=1-b},{u});
U:=rhs(op(1,%));
eval(U,{b=2,n=1000})
eval(U{b=-1,n=1000})

Representar graficamente
U1:=eval(U,b=2)
points:={seq([n,U1],n=0..10)}
with(plots)
pointplot(points)



Calculo de funcion generatriz
U2:=rsolve({u(n+2)+(b-1)*u(n+1)+(1-b)*u(n)=0,u(0)=1,u(1)=1-b},{u},'genfunc'(x));
U2:=rhs(op(1,%));
U2:=eval(U2,b=2)

Descomposicion en fracciones simples
convert(U2,fullparfrac);

Fundamentos de Álgebra Lineal

Teorema de Rouché-Frobenius (Existencia y Unicidad de Soluciones)

Si se considera el sistema A x = b y (A|b) es su matriz ampliada, entonces:

• 1. ρ(A|b) > ρ(A) ⇔ el sistema es incompatible.
• 2. ρ(A|b) = ρ(A) ⇔ el sistema es compatible.
  • Si además, ρ(A) = n = número de incógnitas ⇒ el sistema tiene solución única.
  • Si ρ(A) < n = número de incógnitas ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones, que se pueden escribir en función de n − ρ(A) parámetros.

Dependencia e Independencia Lineal de Vectores

Sea E un espacio vectorial sobre K y sea A un subconjunto no vacío de vectores de E.

Definición de Dependencia Lineal (LD)

Diremos que A es linealmente dependiente (LD) si existen vectores x₁, x₂, ...,... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales" »

Los Números: Conceptos Básicos y Operaciones

Los números sirven para comparar (cardinalidad), ordenar (ordinalidad) y realizar mediciones. En educación infantil, se realizan actividades prenuméricas. Se trabaja con números de una cifra, su composición y descomposición mediante regletas. Los cinco primeros números se empiezan a conceptualizar a los 2 años, pero no se razonará con ellos hasta los 7 años aproximadamente.

Niveles de la Cadena Numérica

• Nivel cuerda: Sucesión de términos que empiezan en 1, no estando los términos bien diferenciados.
• Nivel cuerda irrompible: Sucesión de términos que se produce empezando en el 1, sin embargo, están bien diferenciados.
• Nivel cadena numerable: Sucesión que consiste en contar n términos

... Continuar leyendo "Números: Tipos, Propiedades y Algoritmos de Operaciones Básicas" »

Tma de Fubinni: Si f(x,y,) es continua en R=[a,b]x[c,d] entonces _R f(x,y)dxdy= _a^b _c^d f(x,y)dydx= _c^d _a^b f(x,y)dxdy
Regiones de integración
Tipo 1: Si x € [a,b] y f(x) _a^b[ _f(x)^g(x) F(x,y)dy]dx
Tipo 2: Si x € [c,d] y f(y) _c^d[ _f(y)^g(y) F(x,y)dx]dy
Tipo 3: Tipo 1 y 2 a la vez Tipo 1: Si x€[-r,r] y - Paso de coordenadas cartesianas a:
<>Coordenadas cilíndricas o polares:
x=rcos r>0 x=rcos r>0
y=rsin 0< <2 y=rsin 0< <2
z=z z€ 2 variables: Jacobiano:r _prd dr
3 variables: Jacobiano:r _cr ddrdz
Coordenadas esféricas: Jacobiano: r^2sin
x=rcos sin r>0 _Er^2sin drd d
y=rsin cos 0 <2
z=rcos 0< <
Longitud de una curva:... Continuar leyendo "Chuleta de teoremas matemáticos" »

Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas

Una función es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto X uno y solo un elemento de un conjunto Y. Es una relación especial entre los elementos de dos conjuntos.

Elementos de una Función

• Dominio: En una función f: A -> B, el dominio corresponde al primer conjunto (A).
• Codominio: Es el nombre que se le da al segundo conjunto (B), que contiene los valores relacionados con los elementos del primer conjunto o dominio.
• Imagen de una Función: La asociación a través de la función (f) de los conjuntos A y B, o de A hacia B (f: A -> B), conlleva a la asociación de cada uno de los elementos del conjunto A a un único elemento del conjunto B.

Características de una

... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Funciones Matemáticas: Tipos, Propiedades y Ejemplos" »

Técnicas de Recuperación

• Coincidencia exacta (exact matching): En un sistema booleano, solo se recupera un documento si coincide exactamente con la pregunta.
• Coincidencia parcial (partial matching): Se recupera el documento siempre que se parezca en algo a la pregunta realizada. Se muestran los resultados en orden de relevancia, como en los sistemas vectoriales o probabilísticos.

Ejemplos de Evaluación

Ejemplo de Partial Matching

Método del promedio de precisión en intervalos fijos de exhaustividad (Salton y McGill):

• Se genera un ranking de documentos ordenados, donde los más relevantes están al principio.
• Se calcula un par (P, E), precisión y exhaustividad, por cada documento del ranking.
• La solución es la interpolación.
• Se comienza por

... Continuar leyendo "Evaluación de Sistemas de Recuperación de Información: Técnicas y Métricas" »

CALCULO DE FUNCIONES DE VALOR VECTORIALEN UNA VARIABLE REAL
Definicion: Si S es un subconjunto no vacio de los reales, entonces la funcion f : S?Rⁿ se llama una funcion de valor vectorial de una variable real.
TEOREMA 2
Si f es una funcion de valor vectorial de una variable real, cuya derivada f ^'(t) existe para todo t en un intervalo abierto I, y si la ||f (t)|| es constante para todo t € I , entonces f (t) y f ^'(t) son ortogonales para todo t € I , es decir.
f (t) . f ^'(t) =0 para todo t perteneciente a I
ILUSTRACION
Sea F=(0,1)?R² representada F(t)=(cos 2ð t , sen 2ð t) t € R
||F(t)|| = ? ( cos 2ðt)² + (sen 2ð t)²
=?1 = 1 para todo t € (0,1)
Pero F'(t)=(-2ð sen2ð t, 2ð cos2ð t)
=-2ð (sen2ð t, -cos2ð t)
F(t).F'(t)=(cos2ð... Continuar leyendo "Chuleta" »