Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Conjuntos

Un conjunto está compuesto por elementos. Se representan con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. En un conjunto no hay elementos repetidos.

Aplicaciones

Una aplicación F: A → B se define cuando cada elemento del conjunto inicial A tiene una única imagen en el conjunto final B.

Tipos de Aplicaciones

Inyectiva: Una aplicación es inyectiva cuando elementos distintos del conjunto inicial tienen imágenes distintas en el conjunto final.

Suprayectiva: Una aplicación es suprayectiva cuando cada elemento del conjunto final tiene al menos una preimagen en el conjunto inicial.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial V sobre un campo K (como los números reales) se define con dos operaciones: una ley de composición interna... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Conjuntos, Espacios Vectoriales y Aplicaciones" »

Conceptos Fundamentales de Geometría

Triángulos

Triángulos Rectángulos Especiales

• Triángulo Rectángulo Isósceles: Un triángulo rectángulo con dos lados iguales (los catetos).
• Triángulo 30-60-90: Es la mitad de un triángulo equilátero. El cateto menor mide la mitad que la hipotenusa.

Triángulos Semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Teorema de Tales

Si dos rectas secantes son intersecadas por dos rectas paralelas, en la configuración resultante los segmentos correspondientes son proporcionales.

Criterios de Semejanza de Triángulos

• Criterio AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo): Si dos triángulos tienen ángulos correspondientes iguales, entonces son

Probabilidad: Conceptos Fundamentales

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso. Nos indica cuán posible es que un evento determinado acontezca.

Tipos de Probabilidad

• Probabilidad a priori: Se calcula como el número de casos favorables dividido por el número total de casos posibles, antes de realizar el experimento.
• Probabilidad a posteriori (o Frecuencia Relativa): Es el cociente entre el número de veces que un suceso ocurre y el número total de experimentos realizados. Se basa en la observación de resultados pasados.

Postulados Fundamentales de la Probabilidad

• La probabilidad de un suceso A, denotada como P(A), es la suma de las probabilidades de los resultados básicos que constituyen el suceso A.
• Para

Ecuación del Plano en el Espacio R3

Ecuación General del Plano

La ecuación general del plano es de la forma:

ax + by + cz + d = 0

Esto significa que un punto de coordenadas R(x, y, z) pertenece al plano si y solo si cumple la igualdad anterior (a, b, c y d son números reales fijos).

Ecuación Vectorial Paramétrica de un Plano

Dado un punto P(a, b, c) y dos vectores direccionales no paralelos ~a = (a1, a2, a3) y ~b = (b1, b2, b3), la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P y queda determinado por las direcciones de ~a y ~b es:

~r = ~p + λ * ~a + μ * ~b

La variación de los parámetros λ y μ van determinando los distintos puntos R(x, y, z) del plano. Igualando por coordenadas esta última expresión se obtiene la ecuación paramétrica... Continuar leyendo "Ecuación del Plano en el Espacio R3: Ejemplos y Conceptos Clave" »

Determinación de la Ecuación Vectorial y General de un Plano

Caso de un Plano Conteniendo una Recta

b) Si el Plano $\Pi_2$ debe contener a la recta $L$, entonces, una ecuación vectorial es de la forma:

(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(−2, −1, 1) + s(a, b, c)

Donde $(a, b, c)$ es el segundo vector director para $\Pi_2$, para el cual sirve cualquier segmento no paralelo a $(−2, −1, 1)$ contenido en $\Pi_2$. Dicho esto, si llamamos $A(1, 2, 3)$, tenemos que el segmento $A\tilde{P}$ sirve como segundo director. Entonces:

$\vec{AP} = \tilde{p} - \vec{a} = (2, 0, 1) - (1, 2, 3) = (1, -2, -2)$

Ecuación Vectorial del Plano $\Pi_2$

Por lo tanto, la ecuación vectorial de $\Pi_2$ es:

(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(−2, −1, 1) + s(1, −2, −2)

Obtención

1. Conceptos Fundamentales de Probabilidad

¿Qué es la Probabilidad?

La probabilidad es la medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra. Se expresa como un número entre 0 y 1 (o 0% y 100%), donde 0 indica imposibilidad y 1 indica certeza.

Términos Esenciales en Probabilidad

• Concepto de Evento: Un resultado o un conjunto de resultados de un experimento aleatorio. El documento original lo describe como “lo que ocurre, sobre lo que puede ocurrir”.
• Población: El conjunto total de elementos o individuos de interés en un estudio.
• Muestra: Un subconjunto representativo de casos o individuos seleccionados de una población.
• Experimento Aleatorio: Un proceso que genera eventos con resultados inciertos, pero cuyos posibles resultados

Definición: Un juego bipersonal en forma estratégica (I = {1, 2}, X = X1 × X2, π = (π1, π2)) se dice que es estrictamente competitivo cuando cumple:

π1(x, y) > π1(x', y') si y sólo si π2(x, y) < π2(x', y') para todo x, x' ∈ X1, ∀y, y' ∈ X2.

ANOVA DE DOS FACTORES

SPSS:

En Vista de variables: declarar variables

·Monto

·Ingreso: Valores (1, 2,3)

·Tarjeta: Valores (1, 2,3)

üAnalizar > modelo lineal general > univariante

Variable Dependiente: monto ahorrado (números)

Factores Fijos:
ingreso y tarjeta

Guardar > poner residuos no tipificados

Opciones > marcar pruebas de homogeneidad

Post Hoc > jalar los factores > marcar Duncan

üAnalizar > pruebas no paramétricas > cuadro de diálogos antiguos > KS de 1 muestra > jalar residuos

SUPUESTOS:

Normalidad De errores

Ho: Los errores siguen una distribución normal  (SI)

Hi: No siguen una distribución normal

Alfa: 0,05

Sig (K – S) > Alfa   NoRHo

Sig (K – S) = 0,200 > 0,05 NoRHo

Se Cumple el supuesto de normalidad... Continuar leyendo "Implementación y Validación de ANOVA de Dos Factores en SPSS" »

Método de Muestreo

• Aleatorio Simple: Cada muestra de n elementos de población tiene la misma probabilidad de ser elegida.
• Estratificado: Se utiliza cuando algunos subgrupos tienen un interés especial para el investigador.
• Por Conglomerado: Se utiliza para estudiar poblaciones dispersas en una gran área geográfica.
• 2 Etapas: Se realiza primero un estudio piloto con una muestra pequeña y luego se realiza una más grande.

Estimador Puntual

Es una variable aleatoria que depende de la información de la muestra y son aproximaciones del verdadero valor del parámetro, que se obtiene a partir de alguna función de la muestra.

Propiedades

• Insegamiento: Si el valor del estadístico muestral es igual al parámetro poblacional que se estudia, se dice que

Primeras propiedades del plano

• Recta contenida: Si una recta tiene más de un punto en común con el plano, está contenida en él.
• Determinación por puntos: Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene.
• Planos paralelos: Dos planos sin ningún punto en común son paralelos.
• Intersección de planos: Si dos planos distintos se cortan, su intersección es una recta.

Posición relativa de dos rectas en el espacio

• Que se cruzan: Si no existe ningún plano que las contenga.
• Paralelas: Si, estando en el mismo plano, no tienen ningún punto en común o los tienen todos (coincidentes).
• Secantes: Si, estando en el mismo plano, se cortan en un punto.

Posición relativa de recta y plano

• Paralelos: La recta y el plano no tienen ningún punto