Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Lógica Proposicional

En lógica, una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Principios Fundamentales

• Negación:
  • Si la negación de una proposición es verdadera, entonces la proposición original es falsa.
  • Si la negación de una proposición es falsa, entonces la proposición original es verdadera.

Clasificación de Proposiciones Compuestas

• Tautología: Una proposición compuesta que es siempre verdadera, independientemente de los valores de verdad de sus componentes.
• Contradicción: Una proposición compuesta que es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad de sus componentes.
• Contingencia: Una proposición compuesta que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad

Este documento detalla las propiedades fundamentales que rigen los triángulos esféricos rectángulos, un concepto clave en la geometría y trigonometría esférica. Se exploran las relaciones entre sus lados y ángulos, proporcionando una base sólida para su comprensión y aplicación.

Propiedad I: Número de Lados Agudos

El número de lados agudos (menores de 90°) de un triángulo esférico rectángulo es impar.

Consideremos la fórmula que relaciona estos tres elementos:

cos a = sen (90° − b) ⋅ sen (90° − c) = cos b ⋅ cos c

Casos:

• i) Si a < 90° (lo que implica cos a > 0):

  • cos b > 0 y cos c > 0 ⇒ b < 90° y c < 90° (tres lados agudos: a, b, c)
  • cos b < 0 y cos c < 0 ⇒ b > 90° y c > 90° (un lado agudo:

Erakundeen Teoria

Teoria honek ulertu nahi du, beti ere berezitasun nazionalaren ikuspegiaren barruan, zergatik herri ezberdinetan erakunde ez-diru-irabazle mota asko agertzen diren. Funtsean, erakunde mota baten aukera sistema politikoari lotuta dago. Herri bakoitzaren ohitura eta ezaugarri politikoak hain dira propioak, non herri bakoitzaren egitura instituzionala soilik ulertu daitekeen bere historia eta kulturari so eginez. Herri gehienetan, zatiketa nahiko egonkorra dago sektore publiko, pribatu eta ez-diru-irabazlearen eginkizunen eta arduren inguruan. Erakundeak ohitura eta tradizioetan sustraituta daude, baita ere funtsezko arau konstituzional zein legedietan; horregatik, aldaketak oso mantxo gertatzen dira.

Kultura nazionalak kontuan... Continuar leyendo "Erakundeak eta Gizarte Zibila: Ikuspegi Teoriak" »

Análisis Univariable: Distribución de una Variable

El análisis univariable se centra en la descripción de una sola variable. Se utilizan diversas herramientas para comprender su comportamiento, incluyendo:

• Frecuencias: Tablas de frecuencia absoluta y relativa.
• Medidas de centralidad: Moda, media y mediana.
• Medidas de dispersión: Rango, desviación típica y coeficiente de variación.
• Medidas de distribución: Asimetría y curtosis.
• Gráficos: Diagramas de barras, diagramas de sectores e histogramas.

Variables Categóricas y Cuantitativas

• Variables Categóricas: Se analizan mediante tablas de frecuencia absoluta y relativa, así como con gráficos de barras y de sectores.
• Variables Cuantitativas: Se analizan utilizando medidas como la moda, la media,

- Variable aleatoria: Función que a cada suceso del espacio muestral le asigna un número: X:Ω Rⁿ | W X(w)

- Función de distribución v.a.: Es una función que a cada posible valor de la variable le asigna la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a ese valor: F:R² R | (x,y) F(x,y) = P(X≤x, Y≤y)

- Función densidad v.a.c.: Sea f: R² R/(x,y) f(x,y) es una función que a cada posible valor de (X,Y) proporciona la densidad de masa probabilística alrededor del punto (x,y); f(x,y) no es la probabilidad en el punto (x,y) sino en el intervalo alrededor del punto. Prop. F(x,y)≥0 ɏ(x,y)ϵ R² | ∫∫_-ꝏ^ꝏ f(x,y) dy dx=1

- X E independientes E(x,y)=E(x)·E(y) ¿?: (x,y) independientes ⇔ f(x,y)= f(x)·f(y) ɏ(x,y)

Entonces... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Variables Aleatorias y Distribuciones en Estadística" »

Arrano: Jatorria eta Bilakaera Fonologikoa

Arrano latinezko mailegu zahar bat da. Beste mailegu zaharretan gertatu den bezala, bokalartean n>Ø gertatzea esperoko genuke; adibidez, lat. corona > eus. koroha > koroa. Hori esperoko genuke arranoren kasuan ere. Hortaz, bokalarteko sudurkaria kontsonante bortitza izatea proposatu behar dugu, horrela ulertzen baita V__V testuinguruan galdu ez izana; hau da: *arran-no > arraNo. Badirudi latinezko *-no hori txikigarri edo bokatibo bat izan zela noizbait. Beraz, 'I+ txikigarri/bokatibo' egitura genuke hitz honetan.

Herio: Etimologia Nahasgarria

Herio hitzaren jatorria nahiko nahasgarria izan daiteke. Proposatu izan da *dVC > *lVC > *e-LVC > erVC egitura jarraitu izan duela, hots,... Continuar leyendo "Euskarazko Hitz Batzuen Etimologia eta Bilakaera Fonologikoa" »

Modelo IS-LM: Cálculo y Procedimiento

Fórmulas Fundamentales

• Curva IS: Y = (A - bi) * M (Donde A = C + G + I)
• Curva LM: i = (K/h * Y - 1/h * M/P)
• Multiplicador (M): 1 / (1 - c + ct)
• Equilibrio Monetario (M/P): M/P = kY - hi (Para calcular LM)

Procedimiento de Cálculo (Tema 1)

1. Calcular la ecuación de la curva IS (ejemplo: 1075 - 25i).
2. Calcular la ecuación de la curva LM usando la fórmula M/P = kY - hi.
3. Realizar la reducción (sistema de ecuaciones) con las dos ecuaciones para obtener los valores de i (tipo de interés) y Y (renta/PIB).
4. Realizar la comprobación sustituyendo los valores en la ecuación IS (ejemplo: IS = 1075 - 25(K/Y * Y - 1/h * 100)).
5. Si se da un valor de Y (ejemplo: Y=1200), calcular el aumento de G (Gasto Público). Se toma la

Objetivos de la Regresión Lineal

Objetivos de la regresión:

1. Evaluar la asociación entre la respuesta (variable dependiente “Y”) y los efectos principales (variables independientes “X´s”).
2. Predecir el comportamiento de la variable respuesta (Y), dado un determinado perfil de las variables predictoras (X´s).

Diferencia entre Regresión y Correlación

El objetivo de un modelo de regresión es modelar el valor medio (o esperanza matemática) de una variable “Respuesta” de interés, en función de otras variables “Predictoras”. Mientras que la correlación es el grado de asociación entre las mismas.

Supuestos de la Regresión Lineal

Supuestos de regresión:

1. La variable X es una variable no aleatoria (es manejada por el investigador)

Formalización del Problema

Espacio de Estados

Este problema puede ser representado mediante una matriz de 2 dimensiones con n filas y m columnas (n=4 y m=3 para este enunciado). Cada estado (i, j) indica, por tanto, las coordenadas de la celda en la que se encuentra el robot en cada momento.

Estado Inicial

El estado inicial es (1, 1) para este enunciado.

Estado Final

El estado final es (4, 3).

Test Objetivo

Consiste en comprobar que el estado actual (i, j) es igual al Estado Final: (i, j) = Estado Final.

Operadores

Los operadores son los movimientos a celdas adyacentes de la matriz:

• Mover abajo
• Mover arriba
• Mover izquierda
• Mover derecha

Cada movimiento implica mover una posición. Además, según este enunciado, los costes de aplicar un operador son 100,