Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Derivabilidad y Extremos Relativos

1. Crecimiento y Decrecimiento

Teorema: Si una función f(x) derivable en un punto x = a tiene (f’(a) > 0, f’(a) ) entonces f(x) es estrictamente (creciente, decreciente) en el punto x = a.

2. Extremos Relativos

Definición: Si f’(a) = 0, se dice que x = a es un punto estacionario de f(x).

Teorema: Si f(x) es derivable y tiene un extremo relativo en x = a, entonces f’(a) = 0. Es consecuencia del resultado anterior, porque si f’(a) fuese (>0,x = a.

Nota: Como hemos visto, f’(a) = 0 no es condición suficiente para que exista extremo. Si f’(a) = 0, se dice que x = a es un punto crítico o estacionario de f(x).

Teorema: Si una función f(x) verifica f’(a) = 0 y (f’’(a) > 0, f’’(a) )

Multicolinealidad

Existe una relación lineal perfecta o casi exacta entre las variables regresoras.

Es un fenómeno de tipo muestral, por lo que puede que en la población no exista esta multicolinealidad, pero en la muestra sí. La presencia de la multicolinealidad puede ser un problema porque conduce a grandes errores estándar en los estimadores.

Fuentes de la multicolinealidad

• El método de recolección de información.
• Restricciones en el modelo.
• Especificación del modelo.
• Modelo sobre-determinado (más variables explicativas que observaciones).
• Tendencia común que comparten las regresoras (todas aumentan o disminuyen en el tiempo).

Supuestos del Modelo

• Supuesto 10: No hay multicolinealidad perfecta; no hay relaciones perfectamente lineales entre

Fundamentos de la Teoría de Grafos

Un Grafo es una estructura de datos no lineal, que puede ser considerada como un conjunto de vértices y arcos que conectan esos vértices.

Definiciones Clave

Arista / Arco

Elemento que conecta dos vértices en un grafo.

Camino

Es una secuencia de vértices. La longitud del camino es la cantidad de arcos que este contiene.

Camino Simple

Es aquel donde todos sus vértices son distintos. Solo el primero y el último pueden coincidir.

Ciclo

Es un camino simple y cerrado.

Grafo Conexo

Si desde cualquier vértice existe un camino hasta cualquier otro vértice del grafo.

Grafo Fuertemente Conexo (Dígrafo)

Si para todo par de vértices existe un camino dirigido.

Árbol

Si un grafo no dirigido es conexo y acíclico.

Propiedades

Definición de los Momentos Estadísticos (Centrados y No Centrados)

Los momentos son valores calculados a partir de la distribución de frecuencias. Son muy útiles ya que miden propiedades fundamentales de la variable observada.

Momentos No Centrados (Respecto al Origen)

Se define el momento no centrado, o respecto al origen, de orden r (a_r) como:

Fórmulas para Momentos No Centrados

• Para tablas con frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r n_i = \sum x_i^r f_i

• Para tablas sin frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r

El momento no centrado a_0 es igual a 1 en cualquier distribución de frecuencias. El momento no centrado a_1 se conoce también como media aritmética (\bar{x}).

Momentos Centrados (Respecto a la Media)

Se define el momento centrado,... Continuar leyendo "Fundamentos de los Momentos Estadísticos y Medidas de Dispersión" »

Límite de una función

Una función f(x) tiene límite finito L cuando x tiende al valor “a” si y solo si, la función menos el límite en valor absoluto se puede hacer tan pequeño como se quiera con solo tomar valores de x próximos al valor a. Interpretación geométrica: Apreciamos que prefijado un valor positivo de € encontramos los valores positivos fi, que es el radio del entorno reducido del valor “a”, si tomamos un valor de x perteneciente al dominio de la función y al entorno reducido de a, observamos que el valor de su ordenada es decir f(x) menos el valor del límite es menor en valor absoluto que €. A destacar que a medida que tomamos valores de x mas próximos a los valores de f(x) se acercan al límite L de la función.... Continuar leyendo "Límites, Continuidad y Teoremas Matemáticos" »

Mètodes Numèrics per a la Resolució de Sistemes Lineals

Mètode de Cramer

La solució del sistema $Ax=b$, mitjançant la regla de Cramer, es defineix com:

$$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad 1 \le i \le n$$

On $|A|$ és el determinant de la matriu $A$, i $|A_i|$ és el determinant de la matriu obtinguda substituint la columna $i$ de $A$ pel vector $b$.

Si la matriu és d'ordre $n$, calen $n+1$ determinants d'ordre $n$ per a calcular el vector solució $x$. El nombre d'operacions és, com a mínim, de l'ordre de $n!n$.

Mètodes Directes

Són mètodes que ens proporcionen la solució exacta en un nombre finit d'operacions, si no fos pels errors d'arrodoniment acumulats i les possibles imprecisions en el coneixement inicial de $A$ i $b$.

Es consideren... Continuar leyendo "Mètodes Numèrics per a Sistemes Lineals: Directes i Iteratius" »

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva y Probabilidad

Estadística Descriptiva y Medidas Centrales

• Frecuencia Relativa ($f_i$): Se calcula como $\frac{\text{Frecuencia Absoluta}}{\text{Total de observaciones}}$.
• Media para Variables Continuas: Se calcula como $\frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}$, donde $x_i$ es la marca de clase y $n_i$ es la frecuencia absoluta.
• Varianza ($\text{Var}$): Es la suma de todos los $(x - \text{Media})^2$ dividida por el número de datos ($N$): $\text{Var} = \frac{\sum (x - \text{Media})^2}{N}$.
• Desviación Típica ($\sigma$): Es la raíz cuadrada de la varianza: $\sigma = \sqrt{\text{Var}}$.
• Coeficiente de Variación ($\text{CV}$): Se calcula como $\frac{\text{Desviación Típica}}{\text{Media}}$. Cuanto más

Densidad y amplitud de probabilidades: La probabilidad de encontrar el electrón cerca del punto “r” es proporcional al cuadrado del módulo de la función de onda. P(r)=|Ѱ(r)|²

Normalización: La función de onda tiene que estar normalizada: Ѱ_N=aѰ. ∫|Ѱ_N(r)|²d³r=1. La suma de todas las probabilidades de encontrar la partícula en cualquier lugar del espacio es igual a 1.

Degeneración: Es la condición en la cual dos o más estados ortogonales tienen el mismo eigenvalor (normalmente energía). El número de tales estados con el mismo eigenvalor es en ocasiones denominado degeneración.

Operador unitario: Es un operador que cumple que: Û^-1=Û^† o de manera equivalente: Û^†*Û=I. Si actúa sobre un vector, conserva la longitud del... Continuar leyendo "Glosario de Mecánica Cuántica: Conceptos Clave Explicados" »

Estimación con Kriging

Propiedades Fundamentales del Kriging

• Insesgo: La media de los errores en una región grande tiende a cero (insesgo global).
• Interpolación Exacta: El ponderador del sitio con dato es 1 y el resto es 0.
• Actividad: El kriging de la ley de un bloque es equivalente al promedio de las estimaciones puntuales.
• Suavizamiento: La dispersión de los valores estimados es menor que la dispersión de los valores verdaderos. El histograma de los valores estimados por kriging presentará menos valores extremos que el histograma real de datos. Esto se debe a que el promedio generado elimina valores extremos, lo cual puede ser un problema en el ámbito minero para cuantificar inventarios de recursos. Para abordar esto, se recurre al kriging

Fundamentos de la Estadística Inferencial: Conceptos Clave

Definiciones Esenciales

POBLACIÓN

Conjunto de individuos o elementos que cumplen ciertas propiedades comunes.

MUESTRA

Subconjunto representativo de una población que tiene características comunes. Una muestra aleatoria es aquella tomada de la población en la que todo individuo tiene la misma probabilidad de resultar elegido para ella, y esto con independencia entre individuos.

PARÁMETRO

Función definida sobre los valores numéricos de las características medibles de una población.

ESTADÍSTICO

Función de la muestra que no depende de parámetros desconocidos. El estadístico puede considerarse como un resumen de la información suministrada por la muestra, por lo tanto, tiene objetividad.