Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Teoría MCG

Autocorr y hetereced: Problema para estimar y analizar modelos por MCO (se introduce un sesgo en la estimación de la varianza). => MCG (requisito de esperanza residuales iguales a cero se mantiene, pero homoced. Se levanta)

En presencia de hetero, matriz var/cov, es cuadrada, simétrica y definida positiva.

Var(ei)=O^2*G

3 casos: G=I (homo), G diag.Gral=>res. Incorr hetero. ,G simétrica gral=>res corr hetero.

Para estimar por mcg, se debe cumplir normalidad de res y conocer matriz G.

Por MV se llega a obtener un estimador Bmcg=(x’*g^-1*x) ^-1*x’*g^-1*y

Otra forma: obtener matriz V, por descomposición de jordán (cuadrada, no singular), dividir modelo Y=xb+e y luego estimar por MCO (al dividir, se elimina hetero).

Propiedades

Deducción de la Fórmula de Bruns

La Fórmula de Bruns expresa la relación entre el geoide y el potencial perturbador.

El potencial gravitatorio total en un punto P se define como Wp = Up + Tp, donde Wp es el potencial gravitatorio total, Up es el potencial normal (del elipsoide de referencia) y Tp es el potencial perturbador.

La variación de la función U del punto P al punto Q será:

Up = Uq + (dU/dN') * dN'

Como la separación entre P y Q es dN', y esta se denota como N (altura del geoide), la expresión se simplifica a:

Up = Uq + (dU/dn') * N

Sabemos que g = grad W y γ = grad U, y sus componentes escalares son:

• g = -(dW/dn)
• γ = -(dU/dn')

Sustituyendo (dU/dn') en la expresión de Up, obtenemos:

Up = Uq - γ * N

Por lo tanto, la relación final... Continuar leyendo "Fundamentos de Geodesia Física: Bruns, Armónicos Esféricos e Isostasia" »

25. ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2m y alejándote 0,8m del borde, desde una altura de 1,7m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

26. Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 165cm de altura, se situó a 1,5m de la verja y tomó las medidas indicadas. ¿Cuánto mide la casa?

27. Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas AP=15km, PM=7,2km y MN=12km. Halla la distancia AB.

28. El perímetro de un triángulo isósceles es 64cm, y el lado desigual mide 14cm. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96cm.

29. Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero... Continuar leyendo "Problemas de Geometría: Cálculo de Distancias, Áreas y Volúmenes" »

Este documento compila las definiciones y fórmulas más importantes de la geometría plana, abarcando desde los elementos básicos de las figuras hasta los teoremas fundamentales y las clasificaciones clave.

Fórmulas y Cálculos Geométricos

A continuación, se listan las áreas y longitudes de las figuras geométricas más comunes, así como teoremas esenciales:

• Área del Rectángulo
• Área del Cuadrado
• Área del Rombo / Romboide
• Área del Triángulo
• Área del Trapecio
• Área de un Polígono Regular
• Teorema de Tales (aplicaciones diversas)
• Teorema de la Altura
• Teorema del Cateto
• Teorema de Pitágoras
• Área del Círculo
• Longitud de la Circunferencia
• Longitud de un Arco
• Área del Sector Circular
• Área del Segmento Circular (para ángulos menores y mayores de

Fundamentos de Estadística y Probabilidad

Este documento presenta una recopilación de definiciones esenciales en los campos de la estadística y la probabilidad, ofreciendo una base sólida para comprender sus principios fundamentales.

Estadística Descriptiva: Medidas de Posición y Dispersión

La estadística descriptiva se encarga de organizar, resumir y presentar los datos de manera informativa.

Medidas de Posición

• Cuartil Inferior (Q1): Es el valor que cumple que un cuarto (25%) de los datos son menores o iguales que él, y el resto son mayores o iguales.
• Cuartil Medio (Q2): También conocido como mediana, es el valor que cumple que la mitad (50%) de los datos son menores o iguales que él, y la otra mitad son mayores o iguales.
• Cuartil Superior

Racionalización de Radicales

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador, conviene obtener fracciones equivalentes que no tengan radicales en el denominador. A este proceso se le llama racionalización de radicales.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso varía. Se pueden dar varios casos:

1. Denominador con un solo término (raíz cuadrada)

Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada, basta con multiplicar el numerador y el denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y denominador por :

Otro ejemplo: racionalizar . Si antes de racionalizar extraemos... Continuar leyendo "Cómo Racionalizar Radicales: Métodos y Ejemplos Resueltos" »

Fundamentos de Álgebra y Teoría de Ecuaciones

Ecuaciones Polinómicas de Grado n

Una ecuación algebraica de grado $n$ o polinómica de grado $n$ es una ecuación que se obtiene igualando a cero un polinomio en una variable.

Teoremas Fundamentales de Raíces

Teorema Fundamental del Álgebra (TFA)

Toda ecuación algebraica de grado $n$ con $n \ge 1$ de la forma:

$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n = 0$$

Donde $a_i \in \mathbb{C}$ para todo $i = 0, 1, 2, \dots, n$ y $a_0 \neq 0$, tiene por lo menos una raíz $r$, con $r \in \mathbb{C}$.

Teorema de las Raíces Racionales (Teorema de Gauss)

Si un polinomio $P(x)$ de grado $n$, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite una raíz racional $p/q$ (fracción irreducible)... Continuar leyendo "Compendio de Teoremas Fundamentales y Propiedades Matemáticas Esenciales" »

Suma o resta de fracciones con el mismo denominador

Regla: Si las fracciones tienen el mismo denominador, se conserva ese denominador y se suman o restan los numeradores.

Ejemplo: Si sumamos 7/10 y 10/10, mantenemos 10 como denominador y sumamos los numeradores: 7 + 10 = 17. Por tanto, el resultado es 17/10.

Suma o resta de fracciones con denominadores coprimos

(Denominadores coprimos = no tienen divisores comunes aparte de 1)

Regla: Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes y coprimos, se multiplica cada denominador por el otro para obtener el denominador de la fracción resultante. Para obtener el numerador, se multiplica el numerador de cada fracción por el denominador de la otra y, después, se suman o restan esos productos... Continuar leyendo "Operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división paso a paso" »