Fórmula de Bruns, armónicos esféricos e isostasia: apuntes de geodesia física

Deducción de la Fórmula de Bruns

La Fórmula de Bruns expresa la relación entre el geoide y el potencial perturbador.

El potencial gravitatorio total en un punto P se define como Wp = Up + Tp, donde Wp es el potencial gravitatorio total, Up es el potencial normal (del elipsoide de referencia) y Tp es el potencial perturbador.

La variación de la función U del punto P al punto Q será:

Up = Uq + (dU/dN') * dN'

Como la separación entre P y Q es dN', y esta se denota como N (altura del geoide), la expresión se simplifica a:

Up = Uq + (dU/dn') * N

Sabemos que g = grad W y γ = grad U, y sus componentes escalares son:

• g = -(dW/dn)
• γ = -(dU/dn')

Sustituyendo (dU/dn') en la expresión de Up, obtenemos:

Up = Uq - γ * N

Por lo tanto, la relación final propuesta es:

Wq = Uq - γ * N + Tp

Expresiones Generales de los Armónicos Esféricos de Superficie

A) Expresión General del Potencial Gravitatorio

La expresión general del potencial gravitatorio v en un punto exterior a un cuerpo celeste es:

v = (GM/R) * [1 - Σn=1∞ (a/R)n * Σm=0n [Jnm * cos(mλ) + Knm * sen(mλ)] * Pnm(cosθ)]

Donde:

• GM: Producto de la constante de gravitación universal por la masa del cuerpo.
• a: Semieje mayor del elipsoide de referencia.
• R: Distancia a la que se sitúa el cuerpo.
• J_nm, K_nm: Coeficientes de elipticidad geopotencial.
• P_nm(cosθ): Función asociada de Legendre.
• θ: Colatitud.
• λ: Longitud.

Los armónicos esféricos de superficie son las funciones:

• Ynm(θ, λ) = Pnm(cosθ) * sen(mλ)
• Ynm(θ, λ) = Pnm(cosθ) * cos(mλ)

B) Armónicos Esféricos Zonales: Simetría y Grado

Si un armónico esférico de superficie es zonal, ¿son simétricos respecto al ecuador? ¿Qué se puede decir del grado de dicho armónico?

• n - m = cambios de signo en latitud = 2
• 2m = ceros en longitud = 8

Si n ≠ m, el armónico es teseral.

Calculando los valores de m y n a partir de los ceros:

• m = 8 / 4 = 4
• n = 2 + 4 = 6

Ejemplos de armónicos con estos parámetros:

• P64(cosθ) * cos(4λ)
• P64(cosθ) * sen(4λ)

C) Orden de un Armónico Esférico Zonal

Si un armónico esférico de superficie es zonal, ¿cuánto vale su orden?

El orden (m) en un armónico zonal es siempre 0. Esto implica que el armónico no depende de la longitud (λ).

Modelos Isostáticos

Modelo de Pratt-Hayford

Este modelo supone que la superficie de compensación está colocada a una profundidad D, por debajo del nivel del geoide. La compensación se explica por columnas verticales en términos de igualdad de masa. Se asume que todos los compartimentos tienen igual sección.

La sección del compartimento del agua es distinta de la del compartimento que representa la montaña. Cuanto más alta es la montaña, menor es la densidad de la columna subyacente.

Fórmulas clave:

• ρ1 - ρ0 = -(h / (D + h)) * ρ0
• ρ2 - ρ0 = (h2 / (D - h2)) * (ρ0 - ρw)

Donde:

• ρ0, ρ1, ρ2: Densidades.
• ρw: Densidad del agua.
• D: Profundidad de compensación.
• h, h2: Alturas o profundidades relativas.

Modelo de Airy-Heiskanen

Este modelo supone que la corteza, la capa más externa de la Tierra, de densidad ρ0, está flotando sobre una masa inferior (manto) de densidad ρ1 (donde ρ1 > ρ0). El equilibrio se basa en columnas verticales e igualdad de masas.

T: Espesor normal de la corteza (ej. 30 km).

• Montaña: Compartimento de altitud H. Hay una profundidad de la corteza en el manto que varía en función de la altura de la montaña.
• Agua: Compartimento de agua de profundidad h' = _p. t' = _antiraiz. t = _raiz.