Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Gerra Hotza:

Gerra hotza 1947. urtean hasi zen eta hainbat urte iraun zuen 1991 arte. Denbora tarte horretan hainbat gertakari garrantzitsu izan ziren, non gaur egun, lau fasetan banatzen da:

• Bake garaia (47-53):

  Greziako gerra zibila, Berlingo blokeoa, Koreako gerra.

• Misilen krisia (53-62):

  Hungariako iraultza, Lasterketa nuklearra, Kubako misilen krisia, Berlingo harresia.

• Tentsioa garai altutik krisira (63-73):

  Vietnamgo gerra, Txekoslovakiako inbasioa.

• Berpizkunde eta amaiera (73-91):

  Afganistango inbasioa.

Gerra Hotza eragin zuen gertakizun nagusia: Komunismoaren gorakadak botere-sektoreen artean, eta Txinako Gerra Zibila piztu izana 1927an. Estatu Batuak eta SESB beren eredu sozial, politiko eta ekonomikoa mundu osoan inposatzeko lehian aritu ziren.... Continuar leyendo "Bigarren Mundu Gerra: Historia eta Ondorioak" »

Integral Curvilínea: Definición y Tipos

La integral curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Integral Curvilínea en un Campo Escalar

Para f : R² → R, un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t) = x(t)i + y(t)j con t [a, b], está definida como:

Integral Curvilínea en un Campo Vectorial

Para F : Rⁿ → Rⁿ un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t {\displaystyle \in } [a, b], está definida como:

Integrales Múltiples: Doble y Triple

La integral de una función positiva de una variable... Continuar leyendo "Fundamentos del Cálculo Vectorial: Integrales Curvilíneas, Múltiples y Continuidad" »

Definizioak:

Gerra Hotza: 1947 eta 1991 urteen artean nazioarteko harremanetan bizi izandako tentsio-egoerari deitu zitzaion Gerra Hotza.

Kapitalismoa: Sistema ekonomiko eta sozial bat da, ekoizpen-baliabideak jabetza pribatua izan behar dutela oinarritzat hartuta.

Komunismoa: Klase sozialik gabeko gizarte bat sustatzen duen mugimendu politiko bat da, non ekoizpen-bideen jabetza Estatuarena den. Jabetza pribatua ez litzateke existituko, eta horrek boterea langile-klaseari eramango lioke.

Perestroika: Gorvachovek Sobietar Batasunean erregimena demokratizatzeko eta irekiera politikoa lortzeko egindako erreformen multzoa.

Ezaugarriak:

Gerra Hotzaren oinarrizko ezaugarriak mantendu egin ziren:

• Sistema bipolar bat eratu zen, bi superpotentziek elkarri

Números Complejos: Fundamentos y Operaciones

Los números complejos son expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales. Si a = 0 y b ≠ 0, tenemos un número imaginario puro. Si b = 0, tenemos un número real.

Forma Rectangular

La forma a + bi se denomina forma rectangular, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Igualdad de Números Complejos

Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales: a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d.

Conjugado de un Número Complejo

El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a - bi. Para obtener el conjugado, se cambia el signo de la parte imaginaria.

Operaciones con Números Complejos

Suma

La suma de dos números complejos... Continuar leyendo "Números Complejos: Definición, Operaciones y Representación Gráfica" »

Iturri berriak erabiltzen hasi ziren aukera berriak ematen zituztenak: elektrizitatea eta petrolioa. Industria berriak INDUSTRIA SIDERURGIKOA: Bessemer bihurgailuaren asmakuntzak (1856) ekoizpen prozesua izugarri abiarazi zuen, labe mota honek ekoizpen kosteak gutxitzen baitzituen (altzairu kopuru handiak merkeago ekoitzi ahal ziren). Ondorioz, siderurgiak garrantzi handia eskuratu zuen, arlo askotan baliogarria zelako industria hau (armagintzan, arkitektura, ontzigintzan, ingeniaritzan…)

ELEKTRIZITATE – INDUSTRIA:

elektrizitatea ekoitzi eta banatu ahal izateko sortu zen. Honi esker, garraio (trenbide elektrikoa, metroa, tranbia…) eta komunikabide (telefonoa, irratia…) mota berriak sortu ziren, eguneroko bizitza asko aldatuz.

KIMIKA –

Variables Aleatorias y Medidas Estadísticas

Variables Discretas

(Representación Gráfica: Diagrama de Bastones)

Conceptos Fundamentales

Función de Cuantía (p(x))

• p(x) = P(X=x)

Propiedades:

• p(x) ≥ 0
• ∑ p(x_i) = 1

Función de Distribución Acumulada (F(a))

• F(a) = P(X ≤ a) = ∑ p(x_i)

Cálculo de Probabilidades

• P(X ≤ a) = ∑ p(x_i)
• P(a ≤ X ≤ b) = ∑ p(x_i)

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

Esperanza Matemática (E(X) o μ)

• E(X) = μ = ∑ x_i · p(x_i)

Varianza (V(X))

• V(X) = ∑ (x_i - μ)² p(x_i)

Fórmula de Cálculo Alternativa: V(X) = E(X²) - E(X)²

• Para Variable Discreta: E(X²) = ∑ x_i² · p(x_i)
• Para Variable Continua: E(X²) = ∫ x² · f(x) dx

Coeficiente de Variación (CV(X))

• CV(X) = DS(X) / E(X)

Nota: Un valor más bajo del CV indica... Continuar leyendo "Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Modelos Estadísticos" »

Formulario de Derivadas y Conceptos Fundamentales de Cálculo

Reglas Básicas de Derivación

• Función Potencial Simple (Potencia): Exponente $\cdot X$ elevado a un grado menos.
  • Ejemplo 1: $D(x^{-3}) = -3x^{-4}$
  • Ejemplo 2: $D(8x^2) = 16x$
• Suma y Resta: Derivada de $f(x) \pm$ Derivada de $g(x)$.
  • Ejemplo: $D(-4x^3+x-2) = -12x^2+1$
• Producto: $D(f(x) \cdot g(x)) = D(f(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot D(g(x))$
• Cociente: $D\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{D(f(x)) \cdot g(x) - f(x) \cdot D(g(x))}{g(x)^2}$

Derivación de Funciones Compuestas (Regla de la Cadena)

• Funciones Potenciales Compuestas: Exponente $\cdot$ función elevada a un grado menos $\cdot$ derivada de la base.
  • Ejemplo: $D((4x^2-\frac{x}{3})^2) = 2 \cdot (4x^2-\frac{x}{3}) \cdot (8x-\frac{1}{3})

Ejercicio 1: Estudiantes Universitarios

En una universidad en la que solo hay estudiantes de ingeniería, ciencias y letras, finalizan la carrera el 5% de los ingenieros, el 10% de los científicos y el 20% de los estudiantes de letras. Se sabe que el 20% estudian ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Calcular el porcentaje de estudiantes de ingeniería que han finalizado la carrera.

• 0,2 (Ingeniería) - 0,05 (Aprueban)
• 0,3 (Ciencias) - 0,1 (Aprueban)
• 0,5 (Letras) - 0,2 (Aprueban)

P(aprobar ingeniería) = 0,2 x 0,05 = 0,01

Ejercicio 2: Incidencia de Enfermedad

Un 10% de las personas que viven en cierta ciudad han padecido determinada enfermedad. Si se examinan 3 personas, ¿cuál es la probabilidad de que alguna de ellas haya tenido la enfermedad?... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Conceptos y Aplicaciones" »