Formulario Matemático Esencial: Conceptos Clave y Fórmulas

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Método de Ruffini

Para la división de polinomios, se cambia el signo del divisor y se divide. Luego, el número que se coloca en la caja (raíz) se sustituye en el resultado del polinomio para verificar.

Logaritmos

Un logaritmo se define como: log_a(b) = c, donde:

• a es la base del logaritmo.
• b es el argumento del logaritmo (lo que se le aplica el logaritmo).
• c es el resultado del logaritmo (el exponente al que se eleva la base para obtener el argumento).

La fórmula fundamental es: a^c = b.

Cuando un logaritmo es igual a un número o a otro logaritmo, se aplica esta misma fórmula para resolverlo.

Representación Gráfica de Ecuaciones

Para la representación gráfica de ecuaciones:

• Si la ecuación contiene un término al cuadrado (por ejemplo, x²), su representación gráfica es una curva (parábola, etc.).
• Si no contiene términos al cuadrado, se representa en un plano cartesiano, abarcando los cuatro cuadrantes según sea necesario.

Trigonometría: Conceptos y Fórmulas Esenciales

Valores Trigonométricos Básicos (Mnemotécnica)

Para recordar los valores de seno y coseno de ángulos comunes (0°, 30°, 45°, 60°, 90°):

• Seno: Escribe 0, 1, 2, 3, 4. A cada número, sácale la raíz cuadrada y divide por 2. (Ej: sen(0°) = √0/2 = 0; sen(30°) = √1/2 = 1/2; sen(90°) = √4/2 = 1).
• Coseno: Escribe 4, 3, 2, 1, 0. A cada número, sácale la raíz cuadrada y divide por 2. (Ej: cos(0°) = √4/2 = 1; cos(60°) = √1/2 = 1/2; cos(90°) = √0/2 = 0).

La tangente (tan) se calcula como el seno dividido por el coseno: tan(x) = sen(x) / cos(x).

Signos de las Razones Trigonométricas por Cuadrante

Los signos de las funciones trigonométricas varían según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo:

• Primer Cuadrante (0° < x < 90°): Todas las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) son positivas.
• Segundo Cuadrante (90° < x < 180°): El seno es positivo; el coseno y la tangente son negativos.
• Tercer Cuadrante (180° < x < 270°): El seno y el coseno son negativos; la tangente es positiva.
• Cuarto Cuadrante (270° < x < 360°): El seno y la tangente son negativos; el coseno es positivo.

Los ángulos de 90°, 180°, 270° y 360° (o 0°) marcan los límites entre cuadrantes.

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Relaciones clave entre las razones trigonométricas:

• Tangente (tan): tan(x) = sen(x) / cos(x)
• Cotangente (cot): cot(x) = cos(x) / sen(x) = 1 / tan(x)
• Secante (sec): sec(x) = 1 / cos(x)
• Cosecante (csc): csc(x) = 1 / sen(x)
• Identidad Pitagórica: sen²(x) + cos²(x) = 1
• Identidad de la Tangente: tan²(x) + 1 = sec²(x)
• Identidad de la Cotangente: cot²(x) + 1 = csc²(x)

Tabla de Valores Trigonométricos Comunes

Valores de las razones trigonométricas para ángulos específicos:

Trigonometría en Triángulos Rectángulos

Para un triángulo rectángulo con ángulos A, B y C (siendo C el ángulo recto) y lados opuestos a, b, c (siendo c la hipotenusa):

• Seno (sen): Cateto opuesto / Hipotenusa
• Coseno (cos): Cateto contiguo / Hipotenusa
• Tangente (tan): Cateto opuesto / Cateto contiguo

Aplicado a los ángulos agudos A y B:

• Para el ángulo A: sen(A) = a/c, cos(A) = b/c, tan(A) = a/b
• Para el ángulo B: sen(B) = b/c, cos(B) = a/c, tan(B) = b/a

Vectores: Conceptos y Ecuaciones de la Recta

Conceptos Fundamentales de Vectores

• Vector director: Se obtiene restando las coordenadas del punto final menos las del punto inicial (Ej: B - A).
• Módulo de un vector: La longitud del vector, calculada como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes (Ej: para un vector (a,b), su módulo es √(a² + b²)).
• Vector perpendicular a uno dado: Para obtener un vector perpendicular a (u1, u2), se cambian de orden las coordenadas y se cambia el signo de una de ellas (Ej: (-u2, u1) o (u2, -u1)). El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero: u1·v1 + u2·v2 = 0.
• Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales (u2/u1 = v2/v1) o si uno es un múltiplo escalar del otro.

Ecuaciones de la Recta

Dada una recta que pasa por un punto P(a,b) y tiene un vector director v = (v1, v2):

• Ecuación vectorial: (x,y) = (a,b) + t · (v1, v2), donde 't' es un parámetro real.
• Ecuación paramétrica:
  • x = a + t · v1
  • y = b + t · v2
• Ecuación continua: (x - a) / v1 = (y - b) / v2
• Ecuación punto-pendiente: y - b = m(x - a), donde 'm' es la pendiente de la recta, y m = v2 / v1.
• Ecuación explícita: y = mx + n. Se obtiene despejando 'y' de la ecuación general.
• Ecuación general o implícita: ax + by + c = 0. Se expresa la ecuación de la recta en esta forma.

Producto Escalar de Vectores

El producto escalar de dos vectores u y v se calcula como:

u · v = |u| · |v| · cos(θ), donde |u| y |v| son los módulos de los vectores, y θ es el ángulo entre ellos.

Dominio de Funciones: Paridad

Para determinar la paridad de una función f(x):

• Función par: Si f(x) = f(-x). La gráfica es simétrica respecto al eje Y.
• Función impar: Si f(-x) = -f(x). La gráfica es simétrica respecto al origen.