Chuletas y apuntes de Matemáticas de Primaria

T5. Estimación de Máxima Verosimilitud con Normalidad

Técnica de estimación general llamada máxima verosimilitud. La estimación MV consiste en utilizar como estimadores los valores de los parámetros que hacen máxima la probabilidad (la función de densidad conjunta) de obtener la muestra que observamos. En el caso del MLS con homocedasticidad y normalidad de ε, la función de verosimilitud (en logaritmos) es:

logℓ(β^0,β^1,σ^^2ε)=−n*log(σ^2)/2 −n*log(2π)/2 −∑i(yi−β^0−β^1xi)^2/2σ^^2ε

Para maximizar logℓ, tenemos que minimizar la SR. Esto quiere decir que los estimadores MV de (β0,β1) son los MCO.

IMPLICACIÓN: MCO con homocedasticidad y normalidad tiene las propiedades asociadas a los MV.

Propiedades de los Estimadores

Fundamentos de la Estadística

Conceptos Fundamentales

Estadística Descriptiva

Técnicas que permiten describir elementos de un colectivo a partir de la información contenida en las observaciones realizadas en los elementos de dicho colectivo.

Inferencia Estadística

Técnicas que permiten extrapolar a un colectivo la información contenida en las observaciones realizadas en un subconjunto de elementos de un colectivo. Los resultados de inferencia llevan asociada una incertidumbre que se mide con el cálculo de probabilidades.

Probabilidad y Espacio Muestral

Espacio Muestral

Conjunto de todos los resultados posibles distintos que se pueden observar al realizar un experimento aleatorio. Se representa por $W$ o $\Omega$.

Sucesos

Es un subconjunto del... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Estadística y Probabilidad: Conceptos Clave" »

Heterocedasticidad

La heterocedasticidad se presenta cuando la varianza del término de error de un modelo de regresión es cambiante. Esto significa que la varianza del error está relacionada con una o más variables explicativas, ya sea en su forma de nivel, cuadrática o como interacción entre dos variables explicativas. Su presencia debilita la prueba de hipótesis al incrementar o disminuir la varianza de los coeficientes estimados. La varianza disminuye siempre que se incluyan variables que tengan relación con la experiencia a través del tiempo, pero no hay certeza de que se estén probando las hipótesis correctas.

Fórmula específica para la varianza del estimador:

var (b¨)= + x2 Ge2/(+(xi-x*)2)2

Prueba de White

La Prueba de White... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales y Problemas Comunes en Modelos Econométricos" »

Sucesiones y patrones matemáticos: conceptos, tipos y ejemplos

¿Qué es una sucesión? Casilla / número

→ A cada casilla le corresponde un único número; un mismo número puede aparecer en más de una casilla.

Características

• Orden: los términos están dispuestos en una secuencia.
• Identificación de sucesores: existe una relación entre un término y el siguiente.
• Primer elemento: hay un primer término (importante para definir la sucesión).

Tipos de sucesiones

• Determinativas:
  • Condicional 0: procesos como recetas de cocina (si pasa esto → pasa esto). Son patrones claros.
  • Condicional 1: suposición y posible resultado; hay una hipótesis y una consecuencia posible.
• Aleatorias: ejemplos: el Kino, el bingo, donde el siguiente término no es determinístico.

Determinación de la Significancia Individual de Coeficientes (Ejercicio 1)

Se requiere determinar la significancia individual de los coeficientes bajo la hipótesis nula de que no son significativos, utilizando un nivel de significancia del 1% ($\alpha = 0.01$).

Valores Obtenidos

• $T_{\text{tabla}} = 3.499$ (1 punto)
• Error estándar de $B_0$: $DE(B_0) = 55.54$ (0.5 puntos)
• Error estándar de $B_1$: $DE(B_1) = 1.57$ (0.5 puntos)
• Error estándar de $B_2$: $DE(B_2) = 5.64$ (0.5 puntos)

Pruebas de Hipótesis para Cada Coeficiente

Prueba para el Coeficiente $B_0$ (Intercepto)

• $T_{\text{prueba}}$ para $B_0 = 3.5996$ (0.5 puntos)
• Comparación: $T_{\text{prueba}} (3.5996) > T_{\text{tabla}} (3.499)$ (2 puntos)
• Decisión: Se rechaza $H_0$ de que $B_0$ no es

Preguntas corregidas sobre inferencia estadística y pruebas estadísticas

Preguntas de opción múltiple

1. Test 1. Disponemos de una muestra aleatoria de 50 individuos, de los cuales tenemos datos sobre los valores de tensión arterial antes y después de la administración de un tratamiento. Si queremos comparar el promedio de los valores de tensión antes y después del tratamiento:

   Respuesta: B) Podrá utilizarse la prueba t de comparación de medias para muestras apareadas.

2. Se quiere comparar el promedio de peso de tres grupos de pacientes, cuyos tamaños muestrales son 35, 45 y 40, respectivamente, para determinar si son iguales:

   Respuesta: E) B y D son correctas.

3. El coeficiente de determinación de la recta R²:

   Respuesta: E) B, C y D son correctas.

Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.): Conceptos Fundamentales

El Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.) sirve como referencia fundamental para todos los demás métodos de muestreo, aunque en la práctica su aplicación directa puede ser difícil. El M.A.S. se puede aplicar mediante diversos métodos. El más primitivo y mecánico sería el método de la lotería, donde a cada miembro de la población se le asigna un número.

Todos los números se colocan en un recipiente y se mezclan. El investigador va sacando las etiquetas con números. Todos los individuos que tengan los números seleccionados son los sujetos del estudio, lo que equivale a un sorteo justo entre los individuos de la población.

Tipos de Muestreo Aleatorio Simple

Muestreo Sin Reposición

Cada... Continuar leyendo "Muestreo Aleatorio Simple: Tipos, Métodos de Selección y Ventajas Estadísticas" »

División de Punto Flotante

Divisor: BR | Dividendo: AC | Cociente: QR

Verificación de Operandos

• Los dos operandos se verifican para 0.
• Si el divisor BR = 0, indica un intento de dividir por 0, lo cual es una operación ilegal. La operación termina con un mensaje de error.
• Si el dividendo AC = 0, el cociente QR está formado por ceros y la operación se termina.

Determinación del Signo y Configuración

Se determina el signo del cociente y se almacena en Qs (el signo As del dividendo se deja sin modificar para que sea el signo del residuo). El registro Q es limpiado y el contador de secuencia SC se coloca en un número igual al número de bits en el cociente.

Alineamiento y Comparación

El alineamiento adecuado requiere que la fracción del dividendo... Continuar leyendo "Algoritmos de División en Punto Flotante y Complemento a Dos" »

Espacios Vectoriales

Se define a partir de dos conjuntos cuyos elementos son vectores y escalares. Un vector se dice combinación lineal de dos vectores si se verifica que donde son escalares cualquiera.

Teorema de Caracterización

Los vectores son linealmente independientes si y solo si existe alguna combinación lineal de ellos igualada a cero con algún escalar. Se llama sistema ligado a todo conjunto de vectores dependientes.

Propiedades

Un sistema libre de vectores no puede contener al vector nulo, ni dos vectores iguales o proporcionales. Las coordenadas de un vector respecto a las vi son únicas.

Base y Dimensión

Se llama base de un espacio vectorial a todo sistema libre de generadores.

Subespacios Vectoriales

Un conjunto se dice subvectorial... Continuar leyendo "Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales" »