Chuletas y apuntes de Matemáticas de Primaria

Introducción a las Funciones Polinómicas

Una función polinómica de una variable es toda aquella función P: ℝ → ℝ de la forma:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

Donde:

• n es un número entero no negativo.
• a_n, a_n-1, ..., a₁ y a₀ son números reales.
• a_n es distinto de cero.

Toda función polinómica se define por una expresión algebraica llamada polinomio. El grado de un polinomio P(x) (se suele notar como gr(P(x))) es el mayor exponente al que está elevada su variable. Los coeficientes son los números reales que acompañan las distintas potencias de la variable. El coeficiente del término que define el grado es el coeficiente principal (a_n) y el término independiente (a₀) es el coeficiente de grado cero.

Clasificación y Estado de

Amortización contable:

La cuota anual de amortización contable será:

Cuota de amortización = 12 % s/ 10 000,00 = 1200,00 €.

El cuadro de amortización contable quedaría:

Amortización fiscal:

Como fiscalmente amortiza en el menor tiempo posible, utilizará el coeficiente máximo. La cuota anual de amortización fiscal será: Cuota de... Continuar leyendo "Amortización contable y fiscal" »

Algoritmo de Euclides y ecuaciones diofánticas

Para obtener los valores de µ y λ, se utiliza el algoritmo de Euclides extendido. Cuando la división es exacta, el algoritmo termina.

En las ecuaciones diofánticas, se multiplica la identidad de Bézout por el número de la solución particular (x_p, y_p) = (λ, µ). La ecuación diofántica homogénea asociada, si el mcd(a, b) = 1, es ax - by = 0. Su solución general es (x_h, y_h) = (bt, -at) con t ∈ Z.

Por el método lineal, la solución general es el conjunto de las otras dos con t ∈ Z.

Congruencias

En congruencias, por ejemplo, 9X ≡ 7 (mod 10), se busca el valor que hace que X sea igual a 1. En este caso, se busca 9^-1 y se despeja X. La solución final se expresa como x = c + vt, con t ∈... Continuar leyendo "Conceptos clave de álgebra lineal: Algoritmos, ecuaciones y matrices" »

Definición y Fases de la Estadística

La estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

• Recolección de datos.
• Organización y representación de datos.
• Análisis de datos.
• Obtención de conclusiones.

Clasificación de la Estadística

• Descriptiva: recolecta, organiza, resume y presenta los datos en forma informativa.
• Inferencial: efectúa estimaciones, hipótesis y predicciones.

Conceptos Fundamentales en el Estudio Estadístico

• Población: es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
• Individuo: es cada uno de los elementos que compone una población.

Variable aleatoria

Variable aleatoria: es una función con valores reales cuyo dominio es un espacio muestral, es decir, X: Ω → ℝ. Para un subconjunto A ⊆ ℝ se tiene P(A) = P(ω ∈ Ω: X(ω) ∈ A).

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta toma valores en un conjunto finito o numerable.

Función de masa (pmf)

La función de masa recoge toda la información sobre una variable aleatoria discreta. Si los valores posibles son x_k, entonces p_k = p(x_k) = P[X = x_k]. Además, Σ_k p(x_k) = 1.

Esperanza de una variable aleatoria discreta

La esperanza es una medida ponderada de los valores que puede tomar la variable. Se define como E[X] = μ = x_1·p(x_1) + x_2·p(x_2) + ... = Σ_k x_k·p(x_k).

Linealidad de la esperanza

La esperanza... Continuar leyendo "Conceptos esenciales de variables aleatorias: esperanza, varianza, momentos y distribuciones" »

Problema 1: Precio de la Palta y Temperatura

El precio por kg de palta depende de la cantidad producida durante la temporada, esto según la función P(c) = 1300 - 4c, donde c es la cantidad en miles de unidades. La temperatura promedio t, en grados Celsius, durante la temporada, influye en la cantidad de paltas producidas de acuerdo a la función c(t) = -t²/3 + 10t + 5 (en miles de unidades).

a) Determinar e interpretar p(t)

Para encontrar p(t), sustituimos la función c(t) en la función P(c):

p(t) = P(c(t)) = 1300 - 4 * c(t)

p(t) = 1300 - 4 * (-t²/3 + 10t + 5)

p(t) = 1300 + (4/3)t² - 40t - 20

p(t) = (4/3)t² - 40t + 1280

Interpretación: La función p(t) representa el precio por kilogramo de palta como una función directa de la temperatura promedio... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Cálculo: Funciones, Derivadas e Integrales Aplicadas" »

Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

Hipótesis:

• $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$.
• $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$.
• $f(a) = f(b)$.

Tesis: Existe al menos un punto $c$ que pertenece al intervalo abierto $(a, b)$ tal que la derivada de $c$ es igual a cero, es decir, $f'(c) = 0$.

Interpretación Gráfica

• Caso 1: Si $M = m = f(a) = f(b)$, la función es constante. La derivada es $f'(x) = k = 0$, lo cual se cumple para todo $x$.
• Caso 2: Si $m \neq M$:

1. $m \neq M$.
2. $m < M$.
3. $f(a) \neq m$ (asumiendo que $m$ y $M$ son el mínimo y máximo absoluto, respectivamente).
4. Si $f(c) = m$, entonces existe un entorno $E(c, \delta)$ tal que $a < c < b$.
5. Para todo $x$ que pertenece a $E(c, \delta)$, se cumple

Análisis de Varianza (ANOVA) para Comparar Grupos: Guía Completa

Introducción

El análisis de varianza (ANOVA) es una técnica estadística poderosa que se utiliza para comparar las medias de dos o más grupos. Es una herramienta esencial para determinar si existen diferencias significativas entre los grupos o si las diferencias observadas se deben al azar.

1. Tamaño del Efecto

Antes de realizar un ANOVA, es útil tener una idea del tamaño del efecto que se espera encontrar. Esto nos ayudará a determinar si las diferencias entre los grupos son significativas desde un punto de vista práctico.

1.1. Criterios Orientadores para Valorar la Magnitud

Disponemos de criterios orientadores para valorar la magnitud:

• d = .20: Diferencia pequeña
• d = .50:

Formulario de Geometría y Estadística

Geometría

Complementario: 80º Suplementario: 180º

Cálculo de Diagonales

d =

Ángulos Internos

Suma de ángulos internos: Si = 180ºn - 360º = 180(n-2)

Medida del ángulo interior: î =

Suma de ángulos externos: Se = 180.n – Si

Áreas

Cuadrado:

Rectángulo: b.h

Rombo: ½.D.d

Polígono regular:

Corona circular: TT ( - )

Triángulo: ½.B.h

Romboide: B.h

Trapecio: .h

Círculo: A = TT L = 2TTR

Sector circular: .n

Longitud de un arco de una circunferencia: L =

Área segmento circular: Área sector circular – triángulo OAB (Ø)

Estadística

Área del trapecio:

Media:

Mediana: Valor que da los mismos valores por encima y por debajo.

Moda: El dato que más se repite (sea nº o intervalo).

Xi: Punto medio

Mediana:

Moda:

Conceptos Fundamentales de Funciones Vectoriales

Manteniendo la notación anterior, llamaremos dominio de f al conjunto de puntos de ℝⁿ que tienen imagen por f, es decir, a C:

Dom(f) = {x ∈ ℝⁿ; ∃f(x)}

Nótese que el dominio de una función vectorial es la intersección del dominio de sus proyecciones:

Dom(f) = ∩_i=1^p Dom(f_i)

Recorrido de una función

Definición: Llamaremos recorrido de f al conjunto Im(f), es decir, al conjunto de puntos de ℝ^p que tienen antiimagen por la función.

Curvas de nivel

Definición: Dada una función real de n variables g: C → ℝ (C ⊆ ℝⁿ) y un número real k, se denomina curva de nivel k de la función g al conjunto de puntos de C que tienen como imagen k.

Límites en Funciones de Varias Variables

Definición