Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
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Espacios Vectoriales
Se define a partir de dos conjuntos cuyos elementos son vectores y escalares. Un vector se dice combinación lineal de dos vectores si se verifica que donde son escalares cualquiera.
Teorema de Caracterización
Los vectores son linealmente independientes si y solo si existe alguna combinación lineal de ellos igualada a cero con algún escalar. Se llama sistema ligado a todo conjunto de vectores dependientes.
Propiedades
Un sistema libre de vectores no puede contener al vector nulo, ni dos vectores iguales o proporcionales. Las coordenadas de un vector respecto a las vi son únicas.
Base y Dimensión
Se llama base de un espacio vectorial a todo sistema libre de generadores.
Subespacios Vectoriales
Un conjunto se dice subvectorial de un espacio si tiene estructura de espacio vectorial. Teorema de Caracterización: Sea un espacio vectorial sobre k.
Aplicación Lineal
Una aplicación lineal cumple ciertas propiedades como la imagen del vector nulo es el vector nulo final, la imagen del opuesto es el opuesto de la imagen, y la imagen de una combinación lineal es otra combinación lineal.
Teorema Núcleo-Imagen
El rango de una aplicación lineal es la dimensión del subespacio imagen.
Matrices y Aplicaciones Lineales
Se calcula la matriz asociada a una aplicación lineal entre espacios vectoriales fijadas en unas bases. Se define el conjunto de aplicaciones lineales de v en v’ como L(v,v’).
Definición de Matrices Equivalentes
Dos matrices son equivalentes si existen matrices regulares que las relacionan. Dos matrices semejantes se relacionan por una matriz regular.
Valor y Vector Propio
Un vector propio de una matriz se asocia a un valor propio. Se define el polinomio y ecuación característica de una matriz.
Subespacio de Vectores Asociado
Si un valor propio tiene multiplicidad p, se cumplen ciertas propiedades. Una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.
Diagonalización Ortogonal
Una matriz es ortogonal si su inversa coincide con la transpuesta. Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0. Una matriz simétrica es diagonalizable ortogonalmente si cumple ciertas propiedades.