Chuletas y apuntes de Matemáticas

Propiedades del Ajuste Lineal

1. La suma de los residuos es nula.
2. La media observada de Y coincide con la media de los valores calculados.
3. La suma de los productos de los residuos correspondientes a los valores de la variable independiente es nula.
4. La suma de los productos de los residuos correspondientes a los valores del ajuste lineal es nula.
5. Los valores residuales permanecen invariables si efectuamos el ajuste con los valores de variables tomadas en desviaciones a sus respectivas medias.
6. La varianza de la variable dependiente (Y) se puede expresar como la suma de la varianza de los valores y la varianza de los residuos.

Conceptos de Regresión y Covarianza

Regresión

Búsqueda de una función matemática sencilla que exprese lo mejor posible la relación... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística: Regresión Lineal y Modelos Probabilísticos" »

I) Resolución de ecuaciones cuadráticas simples

• a) 5x²-80=0 → 5x²=80 → x²=16 → x=4
• b) 7x²+14x=0 → 7x²=-14x → x²=-2x → x=-2
• c) (x-6)(x-3)=18 → x²-3x-6x+18=18 → x²=9x → x=9

II) Ecuaciones con productos y términos independientes

• d) (x-4)(x+7)=3(x-1) → x²+7x-4x-28=3x-3 → x²=25 → x=5
• a) x²+2x-80=0 → (x-8)(x+10)=0 → x₁=8, x₂=-10
• b) (x-4)²=4(x-4) → x²-8x+16=4x-16 → x²-12x+32=0 → (x-4)(x-8)=0 → x₁=4, x₂=8

III) Aplicación de la fórmula general

• a) 3x²+11x-4=0 (A=3, B=11, C=-4) → x₁=1/3, x₂=-4
• b) x(x-1)=2(x+5) → x²-x=2x+10 → x²-3x-10=0 → x₁=5, x₂=-2

IV) Discriminante y naturaleza de las raíces

• a) 7x²-30x+8=0 (A=7, B=-30, C=8) → x₁=4, x₂=2/7 (Raíces reales y distintas)
• b) 2x²+5x+15=0 (A=2, B=5, C=15) → Raíces

Conceptos Fundamentales de Funciones y Relaciones

Conceptos Básicos

Relaciones Matemáticas: Conjunto de parejas ordenadas X y Y, donde la relación es un subconjunto del producto cartesiano.

Función: Es un conjunto de pares ordenados de números X y Y, donde nunca se repite el primer número.

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.

Rango: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función.

Codominio: Es el conjunto de todos los valores posibles de salida de una función.

Formas de Representación

Verbal: Mediante una descripción en palabras.

Algebraica: Mediante una fórmula explícita.

Diagrama de Flechas: De un conjunto a otro, indicar la relación de cada valor.

Pares Ordenados: Se representa... Continuar leyendo "Definiciones Clave de Funciones y Relaciones" »

Examen 1

1. 1/5 √2·3^3 - 1/2 √2·3^2 + 1/10 √2^3·3 -> 1/5 ·3√6 - 1/2 ·3√2 + 1/10 ·10√6 -> 8√6/5 -3√2/2

2. √18y - √2y + 5/2 · √8y - 4/3 · √9y -> 3√2y - √2y + 5/2 ·2 √2y - 4/3 · 3√y -> 7√2y - 4√y

3. ^3√3a^5b · √2ab^4 = ^6√3^2a^10b^2 · 2^3a^3b^12 -> ^6√3^2a^13b^142^3 -> a^2b^2 ^6√3^2ab^22^3

^3√a·a^8 -> ^6√a^a -> a^6√a^3 -> a√a

4. 9 ^3√6 - 4 ^3√6 + ^3√6 -> 6 ^3√6 / a^3 b^3 c^4 ^3√c^2

5. log2 0,125=x -> log2(2^-3)=x->-3=x->-3

logx 3=-1-> 1/3

log5 x=3-> x=5^3-> x=125

logx 0,04=-2-> 0,04=x^-2 (1/25) =x^-2-> 1/25 =1/x^2=x^2=+/-√25=+/-5

6. log 18->descomp. factors-> log=log (2·3^2) = log 2+log 3^2->log3^2=2log3->log... Continuar leyendo "Resolucions d'Exàmens de Matemàtiques: Guia Completa i Detallada" »

Propiedades de los Índices

Los índices son medidas estadísticas que permiten estudiar las fluctuaciones de una magnitud (o de un conjunto de ellas) a lo largo del tiempo o del espacio. A continuación, se detallan sus propiedades fundamentales:

• Identidad: Si coinciden los períodos base y actual, el valor del índice debe ser la unidad. Matemáticamente: I_0,0 = I_tt = 1.
• Inversión: Si se permutan los períodos actual y base de un índice, el resultado debe ser el inverso del valor inicial. Es decir: I_o,t = 1 / I_t,o.
• Circularidad (o Transitividad): Dado un período de tiempo t' menor que t, el índice entre los períodos 0 y t debe coincidir con el producto de los índices calculados a través del período intermedio. Expresión formal: I_t,

1) Ecuaciones Lineales

Las ecuaciones lineales son expresiones algebraicas de primer grado con varias incógnitas. Las ecuaciones lineales con dos incógnitas responden a la ecuación general: ax + by = c.

Solución de una ecuación lineal

Es todo par de valores de las incógnitas que verifique la ecuación. Sean x₁, y₁ dos números reales; el par es solución de la ecuación lineal de dos incógnitas anterior si: ax₁ + by₁ = c. Las ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen infinitas soluciones.

Representación gráfica

La ecuación ax + by = c tiene como representación gráfica una recta. Cada punto de dicha recta es solución de la ecuación.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema lineal de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas... Continuar leyendo "Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Lineales: Métodos y Clasificación" »

Fundamentos de Modelos Predictivos y Técnicas Multivariantes

Regresión Lineal

1.1. ¿Qué tipo de variable predice la regresión lineal simple?

• a) Variable categórica
• b) Variable binaria
• ✔ c) Variable continua
• d) Variable ordinal

Explicación: La regresión lineal simple sirve para predecir el valor de una variable dependiente continua a partir de una variable independiente.

2.2. ¿En la fórmula Y = B0 + B1x + E, ¿qué representa B1x?

• a) Error estándar
• b) Valor constante
• ✔ c) Pendiente o coeficiente de regresión
• d) Media de Y

Explicación: B1 es el coeficiente que indica el efecto de la variable X sobre Y; es decir, la pendiente de la recta.

3.3. ¿Qué implica un R-cuadrado ajustado de 0,85 en un modelo?

• a) El modelo no explica ninguna variabilidad
• ✔

Glosario de Programación Lineal

Definiciones de Modelado

• Restricción: Ecuación o desigualdad que descarta ciertas combinaciones de variables de decisión como soluciones factibles.
• Formulación del problema: Proceso de traducir la definición verbal de un problema en un enunciado matemático llamado modelo matemático.
• Modelo matemático: Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen por medio de expresiones matemáticas.
• Variable de decisión: Insumo controlable para un modelo de programación lineal.
• Función objetivo: Expresión que define la cantidad que se maximizará o minimizará en un modelo de programación lineal.
• Restricciones de no negatividad: Conjunto de restricciones que requiere

Recopilación de Exámenes de Matemáticas (2002-2006)

Septiembre 2006

• 1. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x + 2y - z = 1; x + y - 1 = 1; x - z = 1.
• 2. Calcula el ángulo que forma el plano x + y + z = 0 con la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1.
• 3. Dada la función en el intervalo 0 < x < 2, calcula su derivada, simplificándola en lo posible. ¿Es constante esta función f(x)? f(x) = (sen x + sen(x + 1)) / (cos x - cos(x + 1)).
• 4. Enuncia la Regla de Barrow. Representa la gráfica de la función f(x) = ∫ t dt.

Junio 2006

• 1. Calcula: lim (1 + x - e^x) / sen² x.
• 2. Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva y = x⁴, su recta tangente en el punto (1, 1) y el eje OY. Calcula su área.
• 3. Determina la relación