Fundamentos de Estadística: Regresión Lineal y Modelos Probabilísticos

Propiedades del Ajuste Lineal

1. La suma de los residuos es nula.
2. La media observada de Y coincide con la media de los valores calculados.
3. La suma de los productos de los residuos correspondientes a los valores de la variable independiente es nula.
4. La suma de los productos de los residuos correspondientes a los valores del ajuste lineal es nula.
5. Los valores residuales permanecen invariables si efectuamos el ajuste con los valores de variables tomadas en desviaciones a sus respectivas medias.
6. La varianza de la variable dependiente (Y) se puede expresar como la suma de la varianza de los valores y la varianza de los residuos.

Conceptos de Regresión y Covarianza

Regresión

Búsqueda de una función matemática sencilla que exprese lo mejor posible la relación existente entre dos variables y sirve para predecir la variable de interés del problema.

Covarianza

Mide el grado de correlación lineal entre las variables X e Y. Si tiene una relación positiva, la covarianza sería positiva y, en caso de una relación negativa, la covarianza sería negativa.

La covarianza indica el sentido de la correlación entre las variables:

• Si σ_xy > 0, la correlación es directa.
• Si σ_xy < 0, la correlación es inversa.

Modelos y Varianzas

Línea de Tukey

Estudio de la recta de regresión basada en el cálculo de medianas para grupos de sectores de X y de Y.

Varianza Residual

Se define la Varianza Residual VR(y) como la suma de los residuos al cuadrado.

¿A partir de qué valores es suficientemente pequeña o grande como para admitir un buen o mal ajuste? La respuesta nos la dará el coeficiente de determinación R² (descomposición de la varianza marginal de la variable dependiente Sy es una suma de las dos varianzas explicadas por la regresión Sey y la varianza residual Sey²). S²y = Sey² + Sry².

Coeficientes de Relación

Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson

Es una medida del grado de relación lineal entre dos variables (X, Y). Es un método estadístico que permite medir el grado de ajuste existente entre la nube de puntos y la función ajustada.

Coeficiente de Determinación

Representa la proporción de la varianza explicada por la regresión. Como es la proporción de la varianza de Y explicada por la regresión, proporciona una medida de la bondad del ajuste obtenido: V(Y) = VE + VR.

Fundamentos de Probabilidad

Espacio Probabilístico

Se trata de un concepto matemático que sirve para modelizar un cierto experimento aleatorio. Está compuesto por diversos elementos.

Probabilidad Axiomática

Son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.