Problemas Resueltos de Ecuaciones de Primer Grado y Geometría

Resolución de Problemas Matemáticos Mediante Ecuaciones

22. Edades de Marisa y Esther

• Planteamiento: Esther = x, Marisa = x + 5. Cuando Esther tenga la edad actual de Marisa (es decir, pasen 5 años), ambas habrán sumado 5 años a sus edades actuales.
• Edad futura de Esther: x + 5
• Edad futura de Marisa: (x + 5) + 5 = x + 10
• Ecuación: (x + 5) + (x + 10) = 35
• Resolución: 2x + 15 = 35 → 2x = 20 → x = 10

27. Ahorros de Inés y María (Total = 17 €)

• Planteamiento: Dinero de Inés = x. Como tienen 17 € entre las dos, María tiene 17 - x. A María le faltan 4 € para tener el doble que Inés:
• Ecuación: (17 - x) + 4 = 2x
• Resolución: 21 - x = 2x → 21 = 3x → x = 7
• Resultado: Inés ha ahorrado 7 € y María ha ahorrado 10 € (17 - 7).

25. Dimensiones del Rectángulo (Perímetro = 30 m)

• Planteamiento: Un lado mide x y el otro x - 3.
• Ecuación: 2(x) + 2(x - 3) = 30
• Resolución: 2x + 2x - 6 = 30 → 4x = 36 → x = 9
• Resultado: Los lados miden 9 metros y 6 metros (9 - 3).

19. Dimensiones del Solar Rectangular (Perímetro = 84 m)

• Planteamiento: Ancho = x, Largo = 2x. El perímetro es la suma de los 4 lados.
• Ecuación: 2(x) + 2(2x) = 84
• Resolución: 2x + 4x = 84 → 6x = 84 → x = 84 / 6 = 14
• Resultado: El solar mide 14 metros de ancho y 28 metros de largo (2 · 14).

Ejercicios de Ecuaciones con Fracciones

n) 3/5 (x - 1) = (2x - 4) / 5

• Multiplicar por 5: 3(x - 1) = 2x - 4
• Desarrollar: 3x - 3 = 2x - 4
• Agrupar: 3x - 2x = -4 + 3
• Resultado: x = -1

ñ) (2x - 5) / 4 + 1 = (x + 3) / 4

• Multiplicar por 4: (2x - 5) + 4 = x + 3
• Simplificar: 2x - 1 = x + 3
• Agrupar: 2x - x = 3 + 1
• Resultado: x = 4 (Nota: Corregido según el procedimiento lógico de la ecuación planteada).

20. Tres números impares consecutivos cuya suma es 21

• Planteamiento: El primer impar es x, el siguiente es x + 2 y el tercero x + 4.
• Ecuación: x + (x + 2) + (x + 4) = 21
• Resolución: 3x + 6 = 21 → 3x = 15 → x = 5
• Resultado: Los números son 5, 7 y 9.

o) (3x + 6) / 4 + 1 = 3x - (x + 1) / 2

• m.c.m. (4): (3x + 6) + 4 = 12x - 2(x + 1)
• Desarrollar: 3x + 10 = 12x - 2x - 2
• Agrupar: 10 + 2 = 10x - 3x
• Resultado: 12 = 7x → x = 12/7

Problemas de Aplicación Cotidiana

Monedas de 1 € y de 20 céntimos (0,20 €)

• Planteamiento: Sea x el número de monedas de 1 €. Como hay 18 monedas en total, las de 20 céntimos son 18 - x.
• Ecuación: 1x + 0,20(18 - x) = 13,2
• Resolución: x + 3,6 - 0,20x = 13,2 → 0,80x = 13,2 - 3,6 → 0,80x = 9,6 → x = 9,6 / 0,80 = 12
• Resultado: Tiene 12 monedas de 1 euro y 6 monedas de 20 céntimos (18 - 12).

Alumnas y alumnos en clase (Total = 28)

• Planteamiento: Alumnos = x, Alumnas = x + 6.
• Ecuación: x + (x + 6) = 28
• Resolución: 2x + 6 = 28 → 2x = 22 → x = 11
• Resultado: Hay 11 alumnos y 17 alumnas.

Precio por hora del aparcamiento

• Planteamiento: Pagamos con 6 € y devuelven 2,40 €, por lo que el coste real fue de 6 - 2,40 = 3,60 €. Estuvo 4 horas. Sea x el precio por hora.
• Ecuación: 4x = 3,60
• Resolución: x = 3,60 / 4 = 0,90
• Resultado: Cobran a 0,90 € la hora.

Edad de María

• Planteamiento: Sea x la edad actual de María.
• Doble de la edad de hace 15 años: 2(x - 15)
• Triple de la edad de hace 10 años: 3(x - 10)
• Ecuación: 2(x - 15) + x = 3(x - 10)
• Resolución: 2x - 30 + x = 3x - 30 → 3x - 30 = 3x - 30

Otros Ejercicios de Ecuaciones

l) (5x - 1) / 4 + 1 = (x + 3) / 2

• m.c.m. (4): (5x - 1) + 4 = 2(x + 3) → (5x - 1) + 4 = 2x + 6
• Simplificar: 5x + 3 = 2x + 6
• Agrupar: 5x - 2x = 6 - 3
• Resultado: 3x = 3 → x = 1 (Nota: Ajustado según la lógica de la resolución presentada).

m) 3x/4 + 1/3 = (x + 3) / 2

• m.c.m. (12): 9x + 4 = 6(x + 3) → 9x + 4 = 6x + 18
• Agrupar: 9x - 6x = 18 - 4
• Resolver: 3x = 14 → x = 14/3 (Nota: Se mantiene la estructura del planteamiento original).