Dominio de Distribuciones Estadísticas: Conceptos Clave para Exámenes

1. Distribución discreta (tabla con x y P(x))

Cómo reconocerla

Si observas una tabla con valores y probabilidades:

✅ Esto es una distribución discreta.

Ejemplo típico de examen

Find the mean and standard deviation of the distribution.

Paso 1: Media (μ)

Fórmula:

μ = Σ x·P(x)

Ejemplo:

μ = (5)(0.2) + (10)(0.5) + (15)(0.3)
μ = 1 + 5 + 4.5 = 10.5

✅ Media = 10.5

Paso 2: Desviación estándar (σ)

Fórmula completa:

σ = √[ Σ (x − μ)² · P(x) ]

Ejemplo:

1️⃣ Resta la media:

• (5 − 10.5)² = 30.25
• (10 − 10.5)² = 0.25
• (15 − 10.5)² = 20.25

2️⃣ Multiplica por P(x):

30.25(0.2) = 6.05
0.25(0.5) = 0.125
20.25(0.3) = 6.075

3️⃣ Suma y raíz cuadrada:

σ² = 12.25
σ = √12.25 = 3.5

✅ σ = 3.5

📌 Clave: Si hay tabla + media + desviación, NO es binomial, es distribución discreta.

2. Binomial (éxito/fracaso)

Cómo reconocerla (clave mental)

Si el problema menciona:

• 10 trials (ensayos)
• Success / failure (éxito/fracaso)
• Same probability (probabilidad constante)

✅ Es Binomial.

Ejemplo base

A student guesses on 5 questions. Probability of success is 0.6.

n = 5
p = 0.6

Caso A: “Exactly 2 successes”

P(2) = C(5,2)(0.6)²(0.4)³

✅ Solo un cálculo.

Caso B: “Less than 2” (x < 2)

👉 Incluye 0 y 1:

P(0) + P(1)

Caso C: “At most 2” (x ≤ 2)

👉 Incluye el 2:

P(0) + P(1) + P(2)

Caso D: “More than 2” 🔥 (x > 2)

👉 Empieza desde 3:

P(3) + P(4) + P(5)

🧠 Atajo de examen:

P(x > 2) = 1 − [P(0) + P(1) + P(2)]

✅ Usa esto para ahorrar tiempo.

3. Z-Score

Cómo reconocerlo

Si ves:

• Media (μ)
• Desviación (σ)
• Z-score

✅ Es Z-score.

Ejemplo tipo

Mean = 73, σ = 8, z = 1.25. What score did she get?

Fórmula correcta:

x = μ + zσ

Ejemplo:

x = 73 + (1.25)(8)
x = 73 + 10 = 83

✅ Resultado: 83

📌 Regla mental:

• z positivo → arriba del promedio
• z negativo → abajo del promedio

4. Distribución normal (áreas / porcentajes)

Cómo reconocerla

• Bell curve (campana de Gauss)
• Probabilidades “between”, “less than”, “greater than”

Ejemplo

What percentage of values are between 60 and 74?

Pasos: 1️⃣ Convierte a z. 2️⃣ Busca en tabla. 3️⃣ Resta áreas si es entre dos valores.

📌 Siempre pasas por z-score primero.

5. Teorema Central del Límite (CLT)

Frases clave

• Sample mean
• n large
• σ / √n

✅ Es CLT.

Ejemplo

Mean spending is $7.29, σ = 2.33, n = 55. Find P(x̄ < 7)

SE = 2.33 / √55
z = (7 − 7.29) / SE

✅ Luego usa la tabla Z.

6. Intervalo de confianza

Palabras mágicas

• 90%, 95%, 98%
• “Confidence interval”

Ejemplo (98%)

z = 2.33
ME = z · σ / √n
Interval = (x̄ − ME , x̄ + ME)

🧠 Decisor final (para el examen)