Operaciones, fracciones, potencias y álgebra: resumen de conceptos clave

Resumen

Resumen de conceptos básicos de matemáticas: orden de operaciones, paso de decimales periódicos a fracción, propiedades de las potencias y raíces, y notación científica. Incluye también la división de polinomios, las igualdades notables, los intervalos y la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. Un ejemplo práctico sobre venta de alambre ilustra el cálculo de ganancias.

Puntos clave

Primero se resuelven las multiplicaciones y divisiones, y después las sumas y restas.
Un decimal periódico puro se convierte en fracción con un numerador formado por el número sin coma menos la parte entera, y un denominador con tantos nueves como cifras tenga el periodo.
Un decimal periódico mixto usa como denominador tantos nueves como cifras periódicas y tantos ceros como cifras no periódicas haya tras la coma.
Propiedades clave: a^0 = 1, a^b · a^c = a^(b+c), a^b / a^c = a^(b-c) y (a^b)^c = a^(b·c).
La notación científica expresa los números con una sola cifra significativa distinta de 0 antes de la coma.
Los intervalos cerrados [ ] incluyen sus extremos y los abiertos ( ) no los incluyen.
Las soluciones de una ecuación de segundo grado se obtienen con la fórmula (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Ponte a prueba

Operaciones con paréntesis

Primero se realizan las multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas.

Cuando se hace el máximo común divisor se hace: el resultado entre el denominador por el numerador.

Siempre se debe simplificar.

Expresión en forma de fracción

Decimal Periódico Puro

Ejemplo: N = 235,2 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

Numerador: El número entero sin coma menos la parte entera (la que no es decimal).
Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el periodo.

Decimal Periódico Mixto

Ejemplo: 1,372 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

Numerador: El número entero sin coma menos todas las cifras que no sean periódicas.
Denominador: Tantos nueves como cifras periódicas tengamos y tantos ceros como cifras no periódicas tengamos detrás de la coma.

Potencias y raíces

Propiedades de las potencias

a elevado a cero es igual a 1 ($a^0 = 1$).
$a^b \cdot a^c = a^{b+c}$.
$a^b / a^c = a^{b-c}$.
$(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.
$a^{-b} = 1 / a^b$.
$1 / a^{-b} = a^b$.
$(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$.
$(a / b)^c = a^c / b^c$.
$(a / b)^{-c} = a^{-c} / b^{-c} = b^c / a^c$.

Problema del alambre

Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las dos terceras partes a 3 € el metro, 1 sexto del resto a 4 € el metro y los metros que quedan a 2 € el metro. ¿Cuánto hemos ganado si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €?

Respuesta:

1ª Etapa: 2 tercios de 90 = 60 m; quedan 30 m.
2ª Etapa: 1 sexto de 30 = 5 m; quedan 25 m.
Cálculo de ventas:
- 60 m por 3 €/m = 180 €
- 5 m por 4 €/m = 20 €
- 25 m por 2 €/m = 50 €
- Total ventas: 180 + 20 + 50 = 250 €
Solución:
- Precio de costo: 90 m por 2 €/m = 180 €
- Ganancia: 250 € - 180 € = 70 €

División de polinomios

Hallamos el primer término del cociente, dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.
Este término lo multiplicamos por cada uno de los términos del divisor y el resultado lo restamos al dividendo.
Repetimos el proceso hasta que el polinomio resto tenga un grado menor que el divisor.

Notación científica

"Consiste en expresar los números con una sola cifra significativa (distinta de 0) antes de la coma".

Intervalos

Si va entre [ ]: Es cerrado, se colorean los puntos en la representación y se dice que los extremos pertenecen al intervalo.
Si va entre ( ): Es abierto, no se colorean los puntos y se dice que no pertenecen al intervalo.

Igualdades notables

$(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$
$(-a + b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
$(-a - b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$
$(-a + b) \cdot (a - b) = -(a^2 - 2ab + b^2)$ (Nota: El texto original indicaba $a^2 - b^2$, se mantiene la estructura solicitada).

Fórmula para factorizar

-b ± raíz cuadrada de (b al cuadrado - 4 · a · c) dividido entre 2 · a

Preguntas frecuentes

¿En qué orden se resuelven las operaciones combinadas?

Primero se realizan las multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas. Los paréntesis se resuelven antes que todo lo demás.

¿Cómo se convierte un decimal periódico puro en fracción?

El numerador es el número sin coma menos la parte entera, y el denominador tiene tantos nueves como cifras tenga el periodo. Siempre se debe simplificar el resultado.

¿Qué significa un intervalo abierto y uno cerrado?

En el intervalo cerrado [ ] los extremos pertenecen al intervalo y se colorean en la representación. En el abierto ( ) no pertenecen y los puntos no se colorean.