Pasos fundamentales para la representación gráfica de funciones

1. Dominio de la función

El dominio Dom(f) se define como R - {valores que anulan el denominador}. Para hallar estos valores, iguala la ecuación del denominador a cero.

2. Simetría

• Par: si se cumple que f(-x) = f(x).
• Impar: si se cumple que f(-x) = -f(x).
• Si no cumple ninguna de las dos, la función no presenta simetría.

3. Puntos de corte

• Eje X: iguala toda la ecuación a 0.
• Eje Y: asigna el valor 0 a la variable x.

4. Asíntotas

• Horizontales: se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito.
• Verticales: se calculan los límites laterales en los puntos excluidos del dominio.
• Oblicuas: ocurren cuando el grado del denominador es exactamente una unidad menor que el del numerador.
  • m = lim (f(x) / x) cuando x → ∞
  • n = lim (f(x) - mx) cuando x → ∞

5. Crecimiento y puntos singulares

Calcula la derivada f'(x) e iguala a cero para hallar los puntos críticos. Utiliza el método de los signos (flechas) sustituyendo valores en f'(x) para determinar máximos y mínimos. Finalmente, sustituye estos valores en la función original f(x) para obtener las coordenadas completas.

Estudio completo de funciones

1. Simetría: Verificación de paridad.
2. Puntos de corte: Intersecciones con los ejes X e Y.
3. Ramas infinitas: Límites cuando x tiende a +∞ y -∞.
4. Crecimiento y extremos: Análisis de la primera derivada.
5. Curvatura y puntos de inflexión: Análisis de la segunda derivada (concavidad y convexidad).

Cálculo de la recta tangente

La fórmula para la recta tangente en un punto x₀ es:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Ejemplo práctico:

Para f(x) = x² en x₀ = 1:

• f(1) = 1² = 1
• f'(x) = 2x → f'(1) = 2
• y = 1 + 2(x - 1)
• y = 1 + 2x - 2
• y = 2x - 1