Funciones Lineales y Cuadráticas: Conceptos, Gráficas y Aplicaciones

1. Función Lineal

Una función lineal se representa gráficamente como una línea recta. Su forma general es:

y = mx + n

Donde:

• m es la pendiente de la recta: indica la inclinación. Si m es positiva, la recta sube; si m es negativa, la recta baja; si m es cero, la recta es horizontal.
• n es la ordenada en el origen: es el valor de y cuando x = 0. Gráficamente, es el punto donde la recta corta el eje Y.

Ejemplos de funciones lineales:

• y = 2x - 5 (Aquí, m = 2 y n = -5)
• y = (1/3)x - 1 (Aquí, m = 1/3 y n = -1)
• y = 4 (Aquí, m = 0 y n = 4. Es una recta horizontal)

2. Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado. Su forma general es:

y = ax² + bx + c

Donde a, b y c son números reales, y a debe ser diferente de cero. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

2.1. Forma de la Parábola

La forma de la parábola (si se abre hacia arriba como un valle o hacia abajo como una montaña) y su “grosor” dependen del valor del coeficiente a:

• Si a > 0: La parábola se abre hacia arriba (forma de “valle”).
• Si a < 0: La parábola se abre hacia abajo (forma de “montaña”).

2.2. Representación Gráfica de una Función Cuadrática

Para graficar una función cuadrática, se siguen los siguientes pasos clave:

1. Calcular el vértice de la parábola (xv, yv):
   • xv = -b / (2a)
   • yv = f(xv) (sustituir xv en la ecuación original).
2. Calcular el punto de corte con el eje Y: Este punto se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la función, lo que nos lleva a (0, c).
3. Calcular los puntos de corte con el eje X (raíces): Resolver ax² + bx + c = 0 usando la fórmula general: x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a).

Una función cuadrática puede tener dos, uno o ningún punto de corte con el eje X.

3. Aplicaciones: Problemas de Beneficio

En el contexto de problemas de beneficio, la función de beneficio B(x) se calcula como la diferencia entre los ingresos I(x) y los gastos G(x):

B(x) = I(x) - G(x)

Para maximizar el beneficio en una función cuadrática con a < 0 (parábola que abre hacia abajo), el beneficio máximo se encuentra en el vértice de la parábola.