Chuletas y apuntes de Matemáticas

Estimación Estadística y Contraste de Hipótesis

Método de Máxima Verosimilitud

Sean datos muestrales X₁,...,X_n con función de densidad conjunta f(x₁,...,x_n;σ) = ∏f(x_i;σ). Para datos dados, lo anterior es función de la variable σ. Es razonable seleccionar como estimador de σ el que haga más grande la verosimilitud. El estimador de σ se obtiene en el máximo.

Un estimador suficiente es aquel que contiene la misma información que la muestra; por tanto, los estimadores razonables se deben obtener en función de los estimadores suficientes.

Método de los Momentos

Se trata de igualar los momentos poblacionales con los momentos muestrales y despejar el parámetro a estimar.

• La principal ventaja es su simplicidad.
• Los estimadores obtenidos

Formulas

(x+y)²=(x)²+2(x)(y)+(y)²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(x+y)(x-y)=x²-y²FACTOR Común MONOMIO

12X+18Y-24Z / 6*2X+6/3Y-6*4Z

FACTOR Común POLINOMIO

X(A+B)+Y(A+B) / (A+B)(X+Y)

FACTOR POR AGUPAMIENTO

AP+BP+AQ+BQ / P(A+B)Q(A+B) / (A+B)(P+Q)

FACTORIZACION DE TRINOMIO DE X²+BX-C

X²+6X+5 / (X+5)(X+1)

FACTORIZACION DE DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

9X²-16Y² / Raíz DE CADA UNO (3X+4Y) / (3X+4Y)(3X-4Y)

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO PERFECTO

9X²-30X+25 /Raíz D LOS D LAS EsquINAS Y Símbolo De eL DeL MEDIO/(3X-5)²

Formulas

(x+y)²=(x)²+2(x)(y)+(y)²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(x+y)(x-y)=x²-y²FACTOR Común MONOMIO

12X+18Y-24Z / 6*2X+6/3Y-6*4Z

FACTOR Común POLINOMIO

X(A+B)+Y(A+B) / (A+B)(X+Y)

FACTOR POR AGUPAMIENTO

AP+BP+AQ+BQ / P(A+B)Q(A+B) / (A+B)(P+Q)

FACTORIZACION

Caiguda de Troia i fugida d'Eneas

In decimo anno troiani belli, Graeci (qui virtute viribusque suis iam non confidebant) ad dolum confugerunt: fugam simulaverunt et haud procul a Troia classem latuerunt.

Sed ante equum ligneum in quo optimum quemque Graecorum principum incluserant, tantae magnitudinis ut portae urbis eum accipere non poterant, in agro troiano reliquerunt.

Tum Troiani, alii perfidi Sinonis mendaciorum causa in fraudem impulsi, alii Hectoris Laocoontis eiusque liberorum morte perterriti, equum in urbem arce statuere.

Illa nocte Graeci latebras suas reliquerunt et cum Sinone principes in equi ligni utero inclusi, liberati atque cuncti, excubias trucidarent, per eam partem muri quam Troiani ad equum introduxerant, diruerant, urbem...

Conceptos básicos de estadística

La estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y análisis, así como de las predicciones que, a partir de estos datos, se pueden hacer.

Población, individuo y muestra

• Población: es el conjunto formado por todos los elementos que existen en el estudio de una determinada característica.
• Individuo: cada elemento de una población.
• Muestra: es el subconjunto de la población que tomamos para determinar el estudio.
• Tamaño muestral: es el número de individuos que forman la muestra.

Carácter estadístico

Un carácter estadístico es una cualidad o propiedad referida a los elementos de una población objeto de estudio. Puede ser:

• Cualitativo: son los que no se pueden medir y se

Projeccions cartogràfiques:

Depenent de l'extensió i la localització de l'àrea a projectar, s'usa una superfície de projecció o una altra:

• Superfície cilíndrica: apropiada per a regions equatorials.
• Superfície cònica: apropiada per a regions de latituds mitjanes amb gran extensió en longitud.
• Plano: adequat per a regions polars.

Projeccions cilíndriques (UTM):

Els meridians són paral·lels entre si, i a més els angles es preserven, cosa que fa que aquesta projecció sigui ideal per a la navegació.

Tipus

1. Projecció transversa de Mercator: per a regions allunyades de l'equador, una solució és girar el cilindre sobre un costat i posar la línia de contacte amb l'esfera perquè coincideixi amb un meridià. Es pot basar en qualsevol...

Formes de representació de la realitat geogràfica

1. Mapes isolínies: objectes lineals.

2. Mapes coroplètics: objectes poligonals, cada polígon té un color diferent.

3. Mapes de símbols: punts.

Sistemes de coordenades

En les aplicacions SIG és necessari assignar un sistema de coordenades a la informació geoambiental. Georreferenciació → localitzar els objectes/dades; representació cartogràfica; anàlisi espacial de dades, etc.

Tipus de coordenades

A. Esfèriques

Projecció en meridians i paral·lels segons:

1. Latitud: angle N o S des de l'equador.
2. Longitud: angle E o O des del meridià de Greenwich.

B. Esferoidals (longitud, latitud)

La millor aproximació de la forma de la Terra és un elipsoide de revolució (esferoide). Es defineixen...

Clasificación de variables

Variables cualitativas: son cualidades o categorías (ej: raza, sistema de producción).

1. Nominales

No se pueden ordenar (viene de "nombre"; ej: raza: angus, sistema de producción: cría).

2. Ordinales

Se pueden ordenar (ej: nivel de satisfacción: bueno o malo, presencia de enfermedad: sí o no).

Variables cuantitativas: expresan cantidades (ej: peso, N° de partos).

1. Discretas

Solo incluyen números enteros (ej: N° de partos, N° de animales).

2. Continuas

Incluyen números con decimales (ej: peso, rendimiento).

Las variables cualitativas también pueden clasificarse en:

1. Dicotómicas

Dos categorías (ej: vaca: preñada/vacía).

2. Politómicas

Más de dos categorías (ej: raza, departamentos).

Una variable puede ser:...

Posición central

x̄ = Σ(x_i · n_i) / N

Me = N/2 o L_(i-1) + c_i · (N/2 − N_(i-1)) / n_i

Mo = L_(i-1) + c_i · n_(i+1) / (n_(i-1) + n_(i+1))

Q(r/k) = L_(i-1) + c_i · (rN/k − N_(i-1)) / n_i

Dispersión

S² = Σ(x_i² · n_i) / N − x̄²

S = √S²

CV = S / x̄

Re = máx(x_i) − mín(x_i)

ReI = C₃ − C₁

Tipificación Z = (X − x̄) / S

Asimetría

As_F = m₃ / S³

As_P = (x̄ − Mo) / S

As_B = (C₁ + C₃ − 2·Me) / (C₃ − C₁)

Cc = m₄ / S⁴ − 3

Índice de Gini

U_i = x_i · n_i

p_i = N_i / N

q_i = U_i(acum) / U_total

IG = Σ(p_i − q_i) / Σp_i

Estadística bidimensional

Distribuciones marginales y condicionadas

• Marginal X: n_i. = Σ fila
• Marginal Y: n_.j = Σ columna
• Frecuencia relativa: f_ij = n_ij / N
• Condicionada Y dado X: f_j/i = n_ij / n_i.
• Condicionada X dado Y: f_i/j = n_ij / n_.j
• Independencia:

Cálculo de Caudal Simultáneo en un Edificio (2 tipos de viviendas)

Cálculo de caudal simultáneo en un edificio (2 tipos de viviendas)

Según HS4

1º Caudal simultáneo mínimo por aparato (Qi): ver Tabla 2.1 HS4.

Sumar todos los de un local y después todos los de la vivienda.

2º Coeficiente de simultaneidad: k = 1 / √(nº de grifos en 1 vivienda − 1) (hacerlo con los tipos de vivienda).

3º Caudal simultáneo para cada tipo de vivienda (Qmax_i): Qmax_i = k_i · Q_i.

4º Media ponderada del conjunto de caudales del edificio (Qmax): Qmax = (Qmax_A · Nº viv A + Qmax_B · Nº viv B) / (N_A + N_B).

5º Coeficiente de simultaneidad del edificio: k_E = 19 + Nº total de viviendas / (10 · (Nº total de viviendas + 1)).

6º Caudal máximo del edificio: Qmax_E

1. Modelo de Richard (tipo de interés)

R. MEDIA: La ecuación nos indica que la tasa de variación instantánea del tipo de interés es proporcional (con la constante de proporcionalidad) a la diferencia entre el tipo de interés medio y el tipo de interés en cada instante, de forma que:

• a) si el tipo de interés está por debajo del tipo de interés medio (u), entonces en ese instante el tipo de interés crecerá;
• b) si el tipo de interés está por encima del interés medio, entonces en ese instante el tipo de interés decrecerá.

2. Modelo de Walras (precio y mercado)

WALRAS: Este modelo asume que, a medida que crece el precio P, la función de demanda (oferta) decrece (crece) linealmente con P. Es decir, las primeras ecuaciones modelizan el...