Chuletas y apuntes de Matemáticas

Sistemas criptográficos

🔹 1. César

Qué es: desplazamiento fijo de letras.

• Cifrar: C = (P + k) mod 26
• Descifrar: P = (C − k) mod 26
• Nota: k es el desplazamiento; P y C son las posiciones de las letras (0–25).

🔹 2. Vigenère

Poner la clave debajo del texto a cifrar; se suma la posición de la letra de la clave con la posición de la letra del texto y se aplica mod 26 si sobrepasa. Si la clave es más corta que el texto, se repite la clave hasta cubrir todo el texto.

🔹 3. Transposición por columnas

Pasos básicos:

• Ordenar la clave según sus letras (por ejemplo: a = 1, b = 2, ...), asignando un número a cada columna en función del orden alfabético de la clave.
• Escribir el texto en filas con tantas columnas como letras tenga la clave;

Contraste de Hipótesis sobre la Antigüedad en la Empresa

a) Contrasta, a nivel de significación del 1%, la hipótesis de que el Número de años de antigüedad en la empresa se distribuye como una Normal.

1. Formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.
2. Determina el estadístico de contraste y su distribución.
3. Determina la forma de la región crítica.
4. Valor observado del estadístico de contraste.
5. p-valor, indicando cómo se calcularía.
6. Conclusión del contraste para el nivel de significación dado.
7. ¿Para qué niveles de significación rechazarías la hipótesis nula?
8. Ruta en Statgraphics.

i. Sea X: antigüedad en la empresa H₀: X ~ N(... Continuar leyendo "Análisis Estadístico de la Encuesta de Estructura Salarial 2018: Antigüedad y Salarios" »

Problemas de Proporcionalidad y Movimiento

• Problema 1: Ruedas unidas por una correa

  Dos ruedas están unidas por una correa de transmisión. La primera tiene un radio de 10 cm y la segunda de 50 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

  Respuesta: 60 vueltas

• Problema 2: Escala de un plano

  En un plano de una ciudad, una calle de 350 metros de longitud mide 2.8 cm. ¿Cuánto mediría en el plano una calle de 200 metros?

  Respuesta: x = 1.6 cm

• Problema 3: Tiempo de viaje en autobús

  Un autobús recorre 70 km en dos horas. ¿Cuánto tardará en realizar un viaje de 345 km?

  Respuesta: x = 9.85 horas

Ecuaciones Algebraicas

Resolver las siguientes ecuaciones:

• Ecuación 1

  x(x − 1) = x − 4

  Respuesta: No hay solución

Conceptos Básicos de Población y Muestra

• La población (N) es el conjunto de elementos u objetos sobre los que realizamos un estudio estadístico (individuos).
• Una muestra es un subconjunto de la población; el tamaño y los elementos se designan con la letra n.

Clasificación de Variables Estadísticas

El carácter estadístico es una propiedad que permite clasificar a los individuos de una población. Estos pueden ser:

• Cualitativos: Si no se pueden medir.
• Cuantitativos: Se dividen en:
  • Variable cuantitativa discreta: Cuando toma valores aislados (como el número de hermanos).
  • Variable cuantitativa continua: Cuando se puede tomar un valor intermedio (como la altura).

Organización de Datos en Intervalos

Si la variable estadística cuantitativa tiene... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística Descriptiva y Parámetros de Dispersión" »

Propiedades Fundamentales de la Probabilidad

Probabilidad del suceso complementario: P(A°) = 1 - P(A)

Probabilidad de la unión de sucesos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Sucesos incompatibles: A y B son incompatibles si P(A ∩ B) = 0

Probabilidad Condicionada e Independencia

Probabilidad condicionada: Probabilidad de que ocurra A "si ocurre B" o P(A|B). Representa la probabilidad de que ocurra un suceso sabiendo que ha sucedido B.

Sucesos independientes: A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Si A y B son independientes, sus complementarios también lo son.

Leyes de Morgan y Operaciones con Complementarios

Primera Ley de Morgan: P(A° ∪ B°) = P((A ∩ B)°) = 1 - P(A ∩ B)

Segunda Ley de Morgan: P(A° ∩ B°) = P((A ∪... Continuar leyendo "Fórmulas Esenciales de Probabilidad y Estadística Matemática" »

François Viète fue un destacado matemático francés del siglo XVI, cuyas contribuciones abarcan diversas áreas de las matemáticas. A continuación, se detallan algunos aspectos relevantes de su trabajo:

• Redactó también un cuaderno de lecciones para la hija de Juan, llamado *Principios de la cosmografía*.
• Fue abogado en el Parlamento de París. Consejero en el Parlamento de Rennes, se encargó de misiones y trabajos especiales asignados por el rey Enrique III; por último, fue relator del Consejo de Estado.
• Sus contribuciones matemáticas abarcan los campos de la aritmética, el álgebra, la geometría, la trigonometría y la astronomía.
• Redactó el libro que nunca se imprimió llamado *Harmonicon coeleste*.

Canon Mathematicus y Trigonometría

• Redactó

Hominizazioa

Definizioa

Filogenesia espezie biologiko baten sorrera, formazioa eta garapena da eboluzio biologikoaren bidez. Giza espezieari dagokionez, filogenesiari hominizazioa deitzen zaio.

Historia

Duela 6,5 milioi urte primate hominideen artean eboluzio-prozesua hasi zen. Duela 5 milioi urte lehenengo Homo espeziea agertu zen. Hortik aurrera, hainbat Homo espezie agertu ziren. Duela 100.000 urte agertu zen azken Homo espeziea, eta gaur egun bizirik mantentzen den bakarra: Homo sapiens sapiens. Beste Homo espezieak desagertu egin dira.

Gaitasunak

Homo bakoitzak, naturaz, gaitasun batzuk ditu, bereziki gaitasun intelektualak eta motorrak. Bereziki, Homo espezieak oinarrizko lanabesak (harrizkoak) erabiltzen zituen. Beraz, Homo espezie bakoitzak... Continuar leyendo "Hominizazioa eta Kultura" »

Trigonometría Fundamental

Teorema de Pitágoras

• Definición: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b.
• Fórmula: a² + b² = c²
• Uso: Calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos lados.

Funciones Trigonométricas (Seno, Coseno, Tangente)

• Aplicación: Solo se aplican a triángulos rectángulos.
• Definiciones:
  • Seno (sen): $\text{sen}(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$
  • Coseno (cos): $\text{cos}(\theta) = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$
  • Tangente (tan): $\text{tan}(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}$
• Uso:
  • Encontrar la longitud de un lado conociendo un ángulo agudo

Centro de masa y momento de inercia

Del centro de masa de un sólido rígido: punto respecto al cual, para cada dirección, corresponde un momento de inercia mínimo.

Condición de equilibrio bajo tres fuerzas

Para que un sólido rígido esté en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas:

• Las fuerzas deben ser coplanares, o la resultante vectorial debe ser nula.

Teorema de Pappus y superficies

Posición del centro de masa de una superficie semiesférica: no se puede calcular mediante el teorema de Pappus-Guldinus, ya que la superficie no es plana. Por tanto, el teorema a emplear en este caso es: ninguno (superficie no plana).

Rectas, direcciones y centro de masa

Si tenemos un sólido rígido, una dirección u y una recta paralela a u, podemos afirmar: