Fórmulas Esenciales de Probabilidad y Estadística Matemática
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Propiedades Fundamentales de la Probabilidad
Probabilidad del suceso complementario: P(A°) = 1 - P(A)
Probabilidad de la unión de sucesos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Sucesos incompatibles: A y B son incompatibles si P(A ∩ B) = 0
Probabilidad Condicionada e Independencia
Probabilidad condicionada: Probabilidad de que ocurra A "si ocurre B" o P(A|B). Representa la probabilidad de que ocurra un suceso sabiendo que ha sucedido B.
Sucesos independientes: A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Si A y B son independientes, sus complementarios también lo son.
Leyes de Morgan y Operaciones con Complementarios
Primera Ley de Morgan: P(A° ∪ B°) = P((A ∩ B)°) = 1 - P(A ∩ B)
Segunda Ley de Morgan: P(A° ∩ B°) = P((A ∪ B)°) = 1 - P(A ∪ B)
Interpretación de Enunciados y Probabilidades Comunes
- Probabilidad de que ocurra "al menos un" suceso de dos dados A y B: Se calcula mediante la unión → P(A ∪ B).
- Probabilidad de que ocurra "A o B": Corresponde a la unión → P(A ∪ B).
- Probabilidad de que ocurran "simultáneamente" o "ambos" sucesos A y B: Se calcula mediante la intersección → P(A ∩ B).
- Probabilidad de que ocurra "A y B": Corresponde a la intersección → P(A ∩ B).
- Probabilidad de que ocurra solo A (A y no B): P(A ∩ B°) = P(A) - P(A ∩ B).
- Probabilidad de que ocurra "solo uno de los dos": P(A ∩ B°) + P(A° ∩ B).
Tablas de Referencia de Fórmulas y Teoremas
Diferencia de sucesosA - B = A ∩ B° "Ocurre A y no ocurre B" | P(A - B) = P(A ∩ B°) = P(A) - P(A ∩ B) Esta fórmula resulta de P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B°), que es una relación fundamental. |
Leyes de Morgan | P((A ∪ B)°) = P(A° ∩ B°) o bien P(A° ∩ B°) = 1 - P(A ∪ B) P((A ∩ B)°) = P(A° ∪ B°) o bien P(A° ∪ B°) = 1 - P(A ∩ B) |
Probabilidad condicionada | P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) |
Sucesos independientes | P(A/B) = P(A) o bien P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Si A y B son independientes, entonces A° y B° también lo son. |
Probabilidad compuesta | P(A ∩ B) = P(B) · P(A/B) |
Teorema de la probabilidad total | P(A) = P(B₁) · P(A/B₁) + P(B₂) · P(A/B₂) + ... + P(Bₙ) · P(A/Bₙ) |
Teorema de Bayes | P(Bᵢ / A) = [P(Bᵢ) · P(A/Bᵢ)] / P(A) Desarrollado: P(Bᵢ / A) = [P(Bᵢ) · P(A/Bᵢ)] / [P(B₁) · P(A/B₁) + P(B₂) · P(A/B₂) + ... + P(Bₙ) · P(A/Bₙ)] |
Regla de Laplace | P(A) = (n° de casos favorables) / (n° de casos posibles) |
Suceso seguro (E) | P(E) = 1 |
Suceso imposible (∅) | P(∅) = 0 |
Suceso complementario u opuestoA° o Ā | P(A°) = 1 - P(A) |
Sucesos incompatiblesA ∩ B = ∅ | P(A ∩ B) = 0 |
Unión de sucesos (A ∪ B)"Ocurre A o B" u "ocurre al menos uno de los dos" | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Si son incompatibles: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
Intersección de sucesos (A ∩ B)"Ocurren A y B simultáneamente" | P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B) |