Modelo de revlis

✅ 1. Función DE VEROSIMILITUD

Teoría: Suponemos que los errores u | X ~ N(0, σ²
I_n). Entonces y | X ~ N(Xβ, σ² I_n).

Densidad conjunta:

f(y | X, β, σ²) = (1 / (2πσ²)^{n/2}) * exp[ -(1 / 2σ²) (y - Xβ)'(y - Xβ) ]

Log-verosimilitud (ignorando constantes):

ln L(β, σ²) ∝ -n/2 ln(σ²) - (1 / 2σ²) (y - Xβ)'(y - Xβ)

✅ 2. ESTIMADORES POR MÁXIMA VEROSIMILITUD

Derivando respecto a β:

∂lnL / ∂β = (1 / σ²) X'(y - Xβ) → igualando a 0 → X'Xβ = X'y → β̂ = (X'X)⁻¹X'y

Derivando respecto a σ²:

∂lnL / ∂σ² = -n/(2σ²) + (1/(2σ⁴))(y - Xβ)'(y - Xβ) = 0

→ σ̂² = [(y - Xβ̂)'(y - Xβ̂)] / n = u'u / n

✅ 3. HESSIANO Y MATRIZ DE INFORMACIÓN

Hessiano:

H(θ) = [[-1/σ² X'X, -1/σ⁴ X'(y - Xβ)], [-1/σ⁴ (y - Xβ)'X, n/(2σ⁴) - (1/σ⁶) u'u]]

Esperanza negativa = Matriz de Información de Fisher:

I(θ) = [[1/σ² X'X, 0], [0, n/(2σ⁴)]]

✅ 5. VARIANZAS Y COMPARACIÓN

A) Var(β̂) = σ² (X'X)⁻¹ → eficiente e insesgado

B) Var(σ̂²_MV) = 2σ⁴(n-k-1)/n² → sesgado porqe divide entre n, pero eficiente

C) Var(σ̂²_MCO) = 2σ⁴ / (n-k-1) → insesgado pero mayor varianza, no es eficiente

✅ 4. COTA DE CRAMÉR-RAO

La inversa de la matriz de información da:

I⁻¹(θ) = [[σ² (X'X)⁻¹, 0], [0, 2σ⁴ / n]]

✅ 1. ESPERANZA CONDICIONAL

E[y|x] = P(y=1|x)*1 + P(y=0|x)*0 = P(y=1|x) ≡ p(x)

✅ 2. VARIANZA CONDICIONAL

V[y|x] = E[y^2|x] - E[y|x]^2 = p(x) - p(x)^2 = p(x)(1 - p(x))

✅ 3. MODELO DE PROBABILIDAD LINEAL

P(y=1|x) = β₀ + β₁x₁ + ... + βₖxₖ = xβ

✅ 4. MODELO DE ÍNDICE (PROBIT/LOGIT)

y* = xβ + ε

y = 1 si y* > 0 ; 0 si y* ≤ 0

⇒ P(y=1|x) = P(ε > -xβ) = 1 - G(-xβ) = G(xβ)

✅ 5. VEROSIMILITUD PARA MLE

ℓᵢ(β) = [G(xᵢβ)]^yᵢ [1 - G(xᵢβ)]^(1 - yᵢ)

L(β) = Π ℓᵢ(β)

ln L(β) = Σ [yᵢ ln G(xᵢβ) + (1 - yᵢ) ln(1 - G(xᵢβ))]

✅ 6. VARIANZA ASINTÓTICA DE β̂

Var_a(β̂) = [Σ (g(xᵢβ))² xᵢ'xᵢ / (G(xᵢβ)(1 - G(xᵢβ)))]⁻¹

✅ 7. EFECTO PARCIAL

∂P(y=1|x)/∂xₖ = βₖ * g(xβ)

∂p/∂xₖ ÷ ∂p/∂xⱼ = βₖ / βⱼ

✅ 8. PEA

PEAₖ = βₖ * g( x̄β )

✅ 9. APE

APEₖ = (1/N) Σ βₖ g(xᵢβ) = βₖ * (1/N) Σ g(xᵢβ)

Si xₖ es dummy:

APEₖ = (1/N) Σ [G(x_{i(-k)}β + βₖ) - G(x_{i(-k)}β)]

✅ 10. DERIVADAS CON FUNCIONES TRANSFORMADAS

Si p(x) = G[β₀ + β₁z₁ + β₂z₁² + β₃ log(z₂) + β₄z₃]

→ ∂p/∂z₁ = (β₁ + 2β₂z₁) * g(xβ)

→ ∂p/∂z₂ = (β₃ / z₂) * g(xβ)

→ ∂p/∂log(z₂) = β₃ * g(xβ)