Estabilidad de Sistemas de Control: Routh-Hurwitz y Diagramas de Bode

Formación de la Ecuación Auxiliar A(s) = 0

Para resolver el caso especial en el arreglo de Routh donde se presenta un renglón de ceros, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Mediante el uso de los coeficientes del renglón que se encuentra justo antes del renglón de ceros.
2. Tome la derivada de la ecuación auxiliar con respecto a s.
3. Reemplace el renglón de ceros con los coeficientes de la derivada obtenida.
4. Continúe con la tabulación de Routh de manera normal.
5. Interprete los resultados de la manera usual.

Limitaciones del Criterio de Routh-Hurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz solo es válido si la ecuación característica es algebraica y cuenta con coeficientes reales. Si cualquiera de los coeficientes es complejo, o si la ecuación no es algebraica (por ejemplo, si contiene funciones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas), el criterio de Routh no puede aplicarse. En estos casos, es necesario recurrir al diagrama de Bode.

¿Qué es un Diagrama de Bode?

Los diagramas de Bode son una representación gráfica en coordenadas rectangulares que consiste en dos gráficas principales:

1. Diagrama de amplitud: se grafica la amplitud de G(jw) en decibelios (dB) contra el logaritmo de la frecuencia.
2. Diagrama de fase: se grafica el ángulo de la fase de G(jw) contra el logaritmo de la frecuencia.

Procedimiento para Obtener la Respuesta en Frecuencia

1. Obtener la función de transferencia del sistema. Las condiciones iniciales se desprecian porque no afectan la respuesta en el estado estable.
2. Se sustituye s por jw en la función de transferencia.
3. Para varios valores de frecuencia (w), se determina la relación de amplitud M(jw) y la fase θ(jw).
4. Se grafican los resultados obtenidos, ya sea en coordenadas rectangulares (diagrama de Bode) o en coordenadas polares (diagrama de Nyquist).

Procedimiento para Determinar la Estabilidad Utilizando los Diagramas de Bode

1. Determinar el valor de la frecuencia crítica (w_c): se traza para ello una línea horizontal que pase por -180° hasta cortar el diagrama de fase, y luego se traza una línea vertical hasta el eje de la frecuencia.
2. Calcular el Margen de Ganancia (MG): se traza una línea vertical que pase por w_c y que corte el diagrama de amplitud. La diferencia entre el punto de corte y los 0 dB nos da el margen de ganancia.
3. Determinar la frecuencia de ganancia crítica (w_g): se traza para ello una línea horizontal que pase por 0 dB hasta cortar el diagrama de amplitud, y luego se baja verticalmente hasta el eje de la frecuencia.
4. Calcular el Margen de Fase (MF): se traza una línea vertical que pase por w_c y corte el diagrama de fase. La diferencia entre -180° y el punto de corte nos da el margen de fase.

Para que el sistema sea estable, se debe cumplir que tanto el Margen de Ganancia (MG) > 0 como el Margen de Fase (MF) > 0.