Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Eliminación de Gauss

Considérese un sistema general de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

a₁₁p₁ + a₁₂p₂ + a₁₃p₃ = q₁

a₂₁p₁ + a₂₂p₂ + a₂₃p₃ = q₂                                                                                               3.2
a₃₁p₁ + a₃₂p₂ + a₃₃p₃ = q₃

Representación Matricial

Este sistema se representa matricialmente de la siguiente manera:

 =

           A               p    =    q

Objetivo del Método

Básicamente, este método tiene el objetivo de convertir la matriz de coeficientes A en una matriz triangular superior, cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Para ello,... Continuar leyendo "Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales con el Método de Eliminación de Gauss" »

Clase 1: Fundamentos del Diagnóstico y Evaluación de Pruebas

El proceso diagnóstico se basa en un estudio observacional transversal. Este implica aplicar, de manera ciega e independiente, la prueba que se desea evaluar y una prueba de referencia (*gold standard*) a una serie consecutiva de pacientes, comparando posteriormente sus resultados.

Criterios para la Selección y Aplicación de Pruebas

1. Selección de la Prueba: Debe ser representativa y similar a las condiciones del entorno real de aplicación.
2. Prueba de Referencia (*Gold Standard*): Los resultados deben confirmarse con el estándar de oro (el criterio diagnóstico real). Ambas pruebas (la evaluada y el *gold standard*) deben realizarse simultáneamente y aplicarse a todos los participantes

Hipótesis

HIPÓTESIS: Es una técnica estadística que se centra en rechazar o no una hipótesis estadística sobre una o más características de una población midiendo el estado de una o más variables y comprobando si se corresponden con los valores esperados.

Contraste de Hipótesis

En un contraste intervienen dos hipótesis:

• La Hipótesis Nula, H0: Es la hipótesis que se desea contrastar. Suele ser una afirmación preestablecida acerca de la población, que debe aceptarse salvo que nuevos datos demuestren que ha habido un cambio.
• La Hipótesis Alternativa H1: Es excluyente de H0 y se acepta cuando a partir de la muestra existe una evidencia para rechazar H0, solo será aceptada si recibe una ratificación importante por parte de las observaciones

Diferenciación Numérica con Polinomios de Lagrange

Introducción a la Diferenciación Polinomial

Si la aproximación es polinomial y se utiliza el criterio de ajuste exacto (en contraste con la aproximación por mínimos cuadrados, donde la diferenciación numérica consistiría en diferenciar el polinomio que mejor ajuste la información tabulada), la diferenciación numérica consiste simplemente en derivar la fórmula del polinomio interpolante utilizado.

En general, si f(x) = p_n(x) + R_n(x), donde R_n(x) es el error cometido al aproximar f(x) por p_n(x), entonces la aproximación de la primera derivada se obtiene como:

O, en general:

(6.1)

Al diferenciar la fórmula fundamental de Newton, se obtiene:

(6.2)

donde es el error cometido al aproximar... Continuar leyendo "Diferenciación Numérica con Polinomios de Lagrange: Métodos y Aplicaciones" »

Definición de Variable

Una variable es una característica que varía según los sujetos, una propiedad que puede adoptar distintos valores. Las variables pueden ser definidas de forma operativa o consultiva.

Las variables definidas de forma consultiva definen la naturaleza de una variable mediante el uso de conceptos y se identifican con los constructos hipotéticos que no son observables directamente, por lo que no son suficientes para comprobar las hipótesis en la realidad. De forma que, para estudiar los constructos, es necesario operativizarlos, es decir, definirlos operativamente a partir de unas variables observables que funcionan como indicadores de los mismos.

La definición operativa consiste en describir las operaciones que se han... Continuar leyendo "Variables y Escalas de Medición en la Investigación Científica" »

Estadística Descriptiva e Inferencial

La estadística descriptiva organiza y resume un conjunto de observaciones procedentes de una muestra o de la población total en forma cuantitativa.

• Una variable: Obtenemos estadísticos o índices que indican los valores más habituales (índices de tendencia central), el grado de similitud o diferencia (estadísticos de variabilidad o dispersión) y cómo se reparten las observaciones (estadísticos de asimetría o forma).
• Dos variables: Utilizamos estadísticos que indican el grado de relación (coeficientes de asociación o correlación) y procedimientos para predecir el valor de una variable en función de otra (ecuaciones de regresión).

La estadística inferencial o inductiva se ocupa de realizar inferencias... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística Descriptiva e Inferencial: Conceptos y Aplicaciones" »

Chi-cuadrado

El Chi-cuadrado es una prueba estadística utilizada para determinar si existe una relación entre dos variables categóricas. El GL (Grados de Libertad) se calcula como N-1. Para una tabla 2x2, el GL es 1. La distribución es asimétrica y no puede ser negativa. El nivel de significación es asintótico.

Condiciones para el Chi-cuadrado

• Más de 20 sujetos.
• Menos del 20% de las casillas tienen frecuencias esperadas menores a 5.
• No hay casillas con frecuencias observadas menores a 5.

Si se cumplen estas condiciones, se puede utilizar la prueba de Chi-cuadrado. Si no se cumplen, se puede utilizar la prueba de Monte Carlo o la prueba exacta.

Tamaño del Efecto

El Chi-cuadrado proporciona información sobre si existe o no una relación, pero... Continuar leyendo "Explorando la Estadística: Una Visión General de las Pruebas Estadísticas" »

Classificació de Sistemes de Plans i Rectes

Anàlisi de 2 Plans

• Secants (S.C.I.): Rang M=2, R. M*=2
• Paral·lels (S.I.): Rang M=1, R. M*=2
• Coincidents (S.C.I.): Rang M=1, M*=1

Anàlisi de 3 Plans

• Secants en un punt (S.C.D.): Rang M=3, R. M*=3
• 2 Paral·lels i 1 secant (S.I.): Rang M=2, R. M*=3
• 2 Coincidents i 1 secant (S.C.I.): Rang M=2, M*=2
• Plans secants 2 a 2: Plans secants en 1 recta.
• Plans paral·lels i diferents 2 a 2 (S.I.): Rang M=1, R. M*=2
• Plans paral·lels i 2 coincidents: Plans // i 2 /
• Plans coincidents (S.C.I.): Rang M=1, R. M*=1

Anàlisi de 2 Rectes

• S'encreuen (S.I.): Rang M=2, R. M*=3 (Rang Vr, Vs, PrPs)
• Paral·lels (S.I.): Rang M=2, R. M*=3
• Secants (S.C.D.): Rang M=2, R. M*=2
• Recta continguda al pla (S.C.I.): Rang M=2, R. M*=2
• Paral·leles (S.

Modelo Tobin

(1) (2) W/P = F'(N) (3) C = C(Y-T) (4) r = F_k(K,N) (5) Y = C + I + G (6) M/P = m(Y, r)

Variables

• Variables endógenas: Y, N, P, C, I, r
• Variables exógenas: W, M, K, T, G

Funcionamiento del Modelo

En el modelo de Oferta Agregada (OA) (ecuaciones 1 y 2), obtenemos P=S(Y). En la Demanda Agregada (DA) (ecuaciones 4 y 6), la curva KE es r=KE(Y) y la curva LM es r=LM(Y,P). Igualando KE y LM, obtenemos Y=DA(P). En el equilibrio, se igualan la oferta y la demanda agregadas, obteniendo Y* y P*. A partir de estos valores, se derivan N* (de 2), C* (de 3), I* (de 5) y M* (de 6). El modelo es no recursivo, neutro y no dicotómico. La variable "r" (tasa de interés) ajusta el mercado de capitales.

Estática Comparativa

(1) dY = F'_N dN (2) dW/W -... Continuar leyendo "Comparativa Modelos Macroeconómicos: Tobin, Clásico y Keynesiano" »

de Cálculo: La Función Exponencial de Leonhard Euler y su Relación con las Funciones Trigonométricas

La Fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo, se cumple la siguiente igualdad:

e^ix = cos(x) + i sen(x)

En esta expresión, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, y cos(x) y sen(x) son las funciones trigonométricas coseno y seno. Alternativamente, esta relación suele expresarse como:

e^z = e^{x + iy} = e^x(cos y + i sen y)

siendo la variable compleja z definida por z = x + iy.

Demostración y Fundamentos Matemáticos

Nótese que esta no es una demostración basada únicamente en las propiedades básicas de los... Continuar leyendo "La Fórmula de Euler y la Relación entre Exponenciales y Trigonometría" »