Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Experimento Aleatorio

EXPERIMENTO ALEATORIO: Un experimento aleatorio es un proceso, que se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.

Espacio Muestral

ESPACIO MUESTRAL: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral y se representa, habitualmente por la letra mayúscula E.

Sucesos

SUCESOS: Son los resultados de un experimento aleatorio, o subconjunto del espacio muestral, y se representan por letras mayúsculas: A, B, C,…

Sucesos Elementales

SUCESOS ELEMENTALES: El suceso simple o elemental, consta de un solo resultado del espacio muestral.

Sucesos Compuestos

SUCESOS COMPUESTOS: Los sucesos compuestos constan de dos o más resultados del espacio muestral.

Suceso Imposible

SUCESO IMPOSIBLE: Suceso que no puede ocurrir nunca.

Operaciones con Sucesos

UNION DE SUCESOS: Unión de dos sucesos A y B, al subconjunto de E, formado por los sucesos que pertenecen a A y a B y a ambos a la vez.

INTERSECCION DE DOS SUCESOS: Llamaremos intersección de dos sucesos A y B al subconjunto de E, formado solamente por los sucesos elementales que pertenecen a A y B.

COMPLEMENTARIO DE UN SUCESO: Llamaremos complementario de un suceso A, al subconjunto de E, formados por los sucesos elementales que no pertenecen a A.

Conceptos de Probabilidad

PROBABILIDAD: La probabilidad de un suceso es igual al cociente entre el número de casos favorables de que ocurra un suceso y el número de casos posibles en el supuesto que todos los casos tengan la misma oportunidad de salir.

TEOREMA DE LA SUMA: La probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B es igual a la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B menos la probabilidad de que ocurran ambos, A y B.

PROBABILIDAD CONDICIONADA: La probabilidad de A condicionada a B, es igual a la probabilidad de la intersección dividida por la probabilidad de la condición B.

TEOREMA DEL PRODUCTO: La probabilidad de la ocurrencia de A y B es igual a la probabilidad de ocurrencia de A por la probabilidad de ocurrencia de B, dado que A ha ocurrido previamente.

Variables Aleatorias

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: Cuando una variable aleatoria toma infinitos valores decimos que es continua.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: Cuando la variable aleatoria toma un conjunto de valores finitos decimos que es discreta.

Funciones de Variables Discretas

FUNCION DE PROBABILIDAD DE VARIABLES DISCRETAS: Se llama función de una variable discreta X, representada como f(x) a aquella función que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor.

FUNCION DE DISTRIBUCION DE VARIABLES DISCRETAS: Se llama función de distribución de una variable aleatoria discreta X, representada por F (x), a aquella función que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor o cualquier otro inferior.

Medidas de Tendencia Central

MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA O ESPERANZA MATEMATICA: La media de una variable X, también denominada esperanza matemática o valor esperado de X que se representa por E (X), pretende estimar las ganancias esperadas, si se repitiese el experimento un número elevado de veces, para una variable aleatoria representa el promedio teórico que tomaría la variable aleatoria si se repitiese el experimento aleatorio infinitas veces.

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA: Es el sumatorio del producto de cada uno de los valores que toma la variable menos su media elevados al cuadrado por su correspondiente valor de la función de probabilidad.

Distribuciones de Probabilidad

DISTRIBUCION BINOMIAL: Una variable X sigue una distribución binomial (con parámetros n y p) si expresa el número de éxitos en “n” realizaciones independientes de un experimento con probabilidad “p” de obtener éxito, y por tanto, (1-p) de obtener fracaso.

DISTRIBUCION NORMAL: Responde a un tipo de curva de forma acampanada, perfectamente simétrica, donde coincide la media, mediana y moda, basada en un número infinito de casos, por lo que sólo puede ser tratada de forma aproximada cuando se opera con datos reales.

CURVA NORMAL TIPIFICADA: Sus unidades se expresan en puntuaciones tipificadas, puntuaciones z, en lugar de sus unidades originales, las puntuaciones típicas oscilan entre ± 3, la media es 0 y su área total vale 1.

DISTRIBUCION CHI CUADRADO: Si tenemos un conjunto X1, X2,… Xn de n variables aleatorias independientes con una distribución de N (0,1) – media 0 y varianza 1-, entonces una nueva variable aleatoria X = X 1AL CUADRADO + X2 AL CUADRADO +…+Xn AL CUADRADO sigue una distribución Xn AL CUADRADO (Chi cuadrado con n grados de libertad) y se representa asi: X →Xn AL CUADRADO . Entre sus propiedades destacamos dos, nunca adopta valores menores de 0 y es asimétrica pero a medida que aumentan sus grados de libertad se va aproximando a la distribución normal.

DISTRIBUCION “T” STUDENT: Se puede definir una distribución “t” como el cociente entre una variable N (0,1) y la raíz cuadrada de una variable xn2 dividida por sus grados de libertad, su nombre se debe a al matemático Gosset que publicó su trabajo bajo el seudónimo de Student. Es simétrica, toma Valores - ∞ y +∞, a medida que aumentan los grados de libertad, la distribución se aproxima más a una distribución normal asintótica.

DISTRIBUCION “F” SNEDECOR: Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes, con distribución Chi cuadrado con n1 y n2 grados de libertad respectivamente, entonces una nueva variable F definida por x1n1⁄x2/n2 sigue una distribución F con n1 y n2 grados de libertad (F n1 * n2), siendo “n1” los grados de libertad del numerados y n2 los grados de libertad del denominador. Es asimétrica positiva por lo que nunca toma valores menores que 0, y además si X es una variable con distribución F con n1 y n2 grados de libertad, entonces la variable Y = 1/x es también una distribución F con n1 y n2 grados de libertad.