Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Derivades i límits de funcions matemàtiques

1. f(-1)=(-1)^3-2(-1)+1=2

f’(x)=3x^2-2.   f’(-1)=3(-1)^2-2=1   y=2+1(x-(-1)) y=2+x+1 y=x+3

6.Deri. c)y’=2x-5

b)y’=1(x-1)-(x+1)1   1   1x-1-x-1     -2 

            (x-1)^2         (x1)^2     (x-1)^2 

d)y’=24x^2+1         f’(x)=0(x)-(1•1)     0-1        -1

                     x                      x^2         x^2       x^2

y´=24x^2-1         y´=24x^4-1

              x^2                x^2

LIM b)   √ x^2+3     ∞  indet.

  lim-->∞   2x+1       ∞  

lim-->∞

√ x^2+3    √x^2     3       √ 1+3        √ 1+3           √ 1      1

       x         ... Continuar leyendo "Derivades i límits de funcions matemàtiques" »

Definición de la integral

1 Construcción de la integral

Definición 1

Sea [a, b] un intervalo. Una partición de [a, b] es un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, . . . , x_n} tal que a = x₀ < x₁ < . . . < x_n = b. Usualmente, se denota por P := {x₀, x₁, . . . , x_n}.

Propiedades

Sea P := {x₀, . . . , x_n} una partición de [a, b]; esta define n subintervalos [x_i, x_i+1] para todo i = 0, . . . , n−1 que dividen a [a, b]. Además, se cumple que:

Σ_i=0^n-1 (x_i+1 − x_i) = b − a

Notación

Sea f : [a, b] → R acotada y P una partición de [a, b]. Definimos los siguientes valores:

• 1. m = inf{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 2. M = sup{f(x) | x ∈ [a, b]}
• 3. m_i = inf{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]} para todo i = 0, . . . , n − 1
• 4. M_i = sup{f(x) | x ∈ [x_i, x_i+1]}

Contenido a Evaluar - Parcial 01 - 022010

Matemática

Capítulo 1: Conjuntos

1. Teoría de Conjuntos
   1. Definiciones Básicas y Notación
   2. Relaciones entre Conjuntos
   3. Operaciones con Conjuntos
2. Conjuntos Numéricos
3. Desigualdades e Intervalos
   1. Desigualdades (Sin demostración de proposiciones)
   2. Intervalos

Capítulo 3: Álgebra

1. Conceptos Básicos de Álgebra
2. Adición y Sustracción
3. Multiplicación
   1. Reglas para Multiplicar Expresiones Algebraicas
   2. Productos Notables
4. Factorización
   1. Factor Común
   2. Diferencia de Cuadrados
   3. Trinomio Cuadrado Perfecto
   4. Trinomio Cuadrado no Perfecto
   5. Suma y Diferencia de Cubos
5. División
6. División de un Polinomio Ordenado en x por el Binomio x – c
7. Factorización de un Polinomio de Grado n en x con n Raíces Reales
8. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Fórmulas Fundamentales y Factorización

Identidades Notables

Estas fórmulas son cruciales para la expansión y factorización de polinomios:

• (1) Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (2) Cuadrado de una diferencia: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (3) Suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²
• (4) Cubo de una suma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (5) Cubo de una diferencia: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Paso Previo Esencial

Operación básica antes de cualquier procedimiento: aplicar el Factor Común si existe.

Operaciones con Fracciones Algebraicas

El objetivo es simplificar la expresión al máximo.

1. Factoriza completamente el numerador y el denominador.
2. Cancela factores comunes (nunca términos sumados o restados).
3. Simplifica

Proposiciones Lógicas

Ejemplos de Proposiciones Lógicas Simples y Compuestas

• Soy minero: Es una proposición lógica simple.
• La luna en el mar riela: No es una proposición lógica.
• El pueblo unido jamás será vencido: No es una proposición lógica.
• No debía quererte y sin embargo te quiero: Es una proposición lógica compuesta.
• El tiempo lo cura todo: No es una proposición lógica.
• Lo que el viento se llevó: No es una proposición lógica.

Ejemplos de Proposiciones Lógicas con Conectores

• Ni te tengo ni te olvido: (¬p)∧(¬q)
• No firmo el documento sin haberlo leído: ¬(p∧¬q)
• Si te he visto no me acuerdo: p→¬q
• Si prometes y no das mal vas: (p∧¬q)→r
• Cuando marzo mayea, mayo marcea: p→q
• Si sale cara gano yo, si sale cruz pierdes tú:

Exercici 1 (3 punts)

Apartat a) Temps de cicle i producció horària (Activitat 133)

1) Passar de TN a TS (activitat normal, An = 100)

• TSa (exteriors) = 27 · 1,10 = 29,70 min
• TSb (interiors) = 12 · 1,10 = 13,20 min

Com que TSb = 13,20 < Tm = 25, les operacions interiors queden dins del temps de màquina.

2) Temps de cicle i producció horària (normal)

• Tc normal = TSa + Tm = 29,70 + 25 = 54,70 min
• PH normal = 60 / 54,70 ≈ 1,10 ud/h

3) Cas òptim (activitat exigible Ae = 133)

• TSa(133) = 29,70 · (100/133) ≈ 22,33 min
• Tc òptim = 22,33 + 25 = 47,33 min
• PH òptim = 60 / 47,33 ≈ 1,27 ud/h

Apartat b) Nou Tc (normal i òptim) i % increment de producció horària

Càlculs basats en l'operació:

• TN operació = ∑(TR·FA·n) / n = 16432,75 / 30 = 547,7583

Notaciones Generales

• Población: Conjunto de todos los elementos objeto de estudio.
• Individuo: Cada uno de los elementos de la población.
• Muestra: Subconjunto de la población.
• Carácter: Cada uno de los aspectos a estudiar.
• Variable: Aquella que recorre todos los valores de un carácter.
  • Cuantitativa: Toma valores numéricos. Puede ser discreta (toma valores aislados, sin decimales) o continua (puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, con decimales).
  • Cualitativa: Nunca toma valores numéricos.

Tipos de Estadística

• La estadística descriptiva expone y analiza caracteres de individuos de una población sin extraer conclusiones para un grupo mayor.
• La estadística inferencial trabaja con muestras y a partir de ellas extrae conclusiones para

Reglas Principales de Derivación

Derivada de Suma y Resta

y = f(x) + g(x) ⇒ y′ = f′(x) + g′(x)
y = f(x) − g(x) ⇒ y′ = f′(x) − g′(x)

Derivada de un Número Real (Constante por Función)

y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto

y = f(x) · g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente

y = f(x) / g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / [g(x)]²

Resolución de Indeterminaciones

• Indeterminación 0/0:
  • Racional: Descomponer en factores y simplificar.
  • Con raíz: Multiplicar y dividir por el conjugado tanto arriba como abajo (ejemplo: si es 1 − √(2x+1), el conjugado será 1 + √(2x+1)).
• Indeterminación ∞/∞: Observar el grado de los polinomios:
  • Si G_n > G_d: el resultado es ±∞.

Gerra Hotzaren Ezaugarriak

Blokeen Ezaugarriak

• Mendebaldeko blokea: Sistema politiko demokratikoa, ekonomia kapitalista eta ideologia liberala.
• Bloke komunista: Sistema politiko totalitarioa, ekonomia planifikatua eta ideologia marxista.

Elkarren Aurkako Erabilera

• Armamentu-norgehiagoka etengabea, batez ere armategi nuklearrari dagokionez.
• Propaganda ideologikoa.
• Subertsioa eta aurkako blokearen espioitza, zerbitzu sekretuen bidez (CIA eta KGB).
• Eragin-eremuen mugatzea, desadostasunik gabe.
• Presio politiko eta ekonomikoak, bai estatu aliatuei, bai aurkako blokekoei.
• Tokiko gerrak, lurraldeak hedatzeko.

Gerra Hotzeko Gertakari Garrantzitsuak

Marshall Plana (1948)

AEBek sortutako diru-laguntza programa, Europako herrialde kapitalisten ekonomia suspertzeko.... Continuar leyendo "Gerra Hotza: Ezaugarriak, Gertakariak eta Ondorioak" »