Guia d'Equacions de la Recta i Geometria Analítica

Equacions de la recta

Nota: Quan el vector director d és (0,1), no existeixen l'equació explícita ni la punt-pendent.

• Vectorial: r: (x,y) = (P1,P2) + t · (d1, d2)
• Paramètriques: r: x = P1 + t · d1; y = P2 + t · d2
• Contínua: r: (x - P1) / d1 = (y - P2) / d2
• Implícita: n · (x - P1, y - P2) = 0
  • Si d1=0: r: x - P1 = 0
  • Si d2=0: r: y - P2 = 0
• Explícita: y = mx + n
• Punt-pendent: y - P2 = m · (x - P1)

Feix de rectes

Procediment: substituir, multiplicar, agrupar en x, y i termes independents, calcular la d amb l'equació resultant, obtenir el pendent, igualar i calcular lambda (λ) per substituir en l'equació original.

• Coneixes el vèrtex: (x - x0) + λ(y - y0) = 0
• Coneixes 2 rectes del feix: (AX + BY + C) + λ(A'X + B'Y + C') = 0

Posició relativa

Quan són secants, igualem i resolem per algun mètode per trobar lambda. Per comprovar si són coincidents, prenem un punt (x,y) i el substituïm en l'altra equació.

Angles de dues rectes

• cos(r,s) = |dr · ds| / (|dr| · |ds|)
• tg(r,s) = |(mr - ms) / (1 + mr · ms)|

Càlcul de distàncies

• Distància entre 2 punts: d(A,B)
• Distància entre 1 punt i 1 recta: d(P,r) (substituir x i y pel punt P)
• Distància entre 2 rectes paral·leles: d(r,s)

Càlcul d'àrea del triangle

• Fórmula d'Heron: A = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], on a=d(B,C), b=d(A,C), c=d(A,B) i p=(a+b+c)/2
• Fórmula b · h / 2: A = (d(B,C) · d(A, rbc)) / 2

Elements notables del triangle

• Mediatriu (circumcentre): Calcular el punt mitjà, després el vector AB i finalment la perpendicular per obtenir l'equació implícita amb n.
• Mitjana (baricentre): Calcular el punt mitjà per separat, obtenir l'equació de la recta que passa pel vèrtex i el punt mitjà oposat.
• Altura (ortocentre):
  • hc: passa per C i és perpendicular a AB.
  • hb: passa per B i és perpendicular a AC.
  • ha: passa per A i és perpendicular a BC.
• Bisectriu (incentre): Lloc geomètric dels punts que equidisten dels costats.