Teorema Central del Limite y Probabilidad: Conceptos Fundamentales de Estadistica

Teorema Central del Límite (TCL)

Dada una población de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, no necesariamente normal, la distribución de las medias de las muestras de tamaño $n$ cumple lo siguiente:

• Tiene la misma media, $\mu$, que la población.
• Su desviación típica es $\sigma / \sqrt{n}$ y, por consiguiente, disminuye al aumentar $n$.
• Cuando $n \geq 30$, es prácticamente normal.

Es importante señalar que este teorema es válido cualquiera que sea la distribución de la población de partida, tanto si es discreta como continua.

El grado de aproximación de la distribución de las medias muestrales a la correspondiente normal depende del tipo de población de partida y de $n$:

• Si la población de partida es normal, también lo será la distribución de las medias muestrales, cualquiera que sea el valor de $n$.
• Aunque la población de partida no sea normal, la distribución de las medias muestrales puede ser muy parecida a la normal, incluso para valores pequeños de $n$. Pero para $n > 30$, es seguro que se consigue una gran aproximación a la normal, cualquiera que sea la distribución de partida.

Ley de los Grandes Números (LGN)

Al realizar reiteradamente una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de un cierto suceso, $fr(S)$, va tomando distintos valores. Estos valores, al principio, sufren grandes oscilaciones pero, poco a poco, se van estabilizando (oscilan cada vez menos). Cuando $N$ crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad de $S$, $P(S)$:

fr(S) \approx P(S)

Axiomas de la Probabilidad

La probabilidad de cada suceso es un número. Se han de cumplir los siguientes axiomas:

• Axioma 1: Cualquiera que sea el suceso $S$, $P(S) \geq 0$.
• Axioma 2: Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.
• Axioma 3: La probabilidad total es 1: $P(E) = 1$.

En esencia, estas tres propiedades indican que la cantidad total de probabilidad es igual a 1 y se reparte aditivamente entre los distintos sucesos.

Conceptos Básicos de Probabilidad y Espacio Muestral

Espacio Muestral y Sucesos

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. En adelante lo designaremos por $E$.

Se llama suceso a cualquier subconjunto de $E$.

• Los elementos de $E$ se llaman sucesos individuales o sucesos elementales (también llamados casos).
• Son también sucesos el suceso vacío o suceso imposible ($\emptyset$), y el propio $E$ (suceso seguro).
• Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos espacio de sucesos.
• Si $E$ tiene un número finito, $n$, de elementos, el número de sucesos de $E$ es $2^n$.

Frecuencia Absoluta y Relativa

• Se llama frecuencia absoluta de un suceso $S$ al número de veces que ocurre $S$. Se designa por $f(S)$.
• Se llama frecuencia relativa de $S$ a la proporción de veces que ocurre $S$: fr(S) = f(S) / N.

Ley de Laplace

Si el espacio muestral es equiprobable, entonces:

P(S) = \frac{\text{número de elementos de } S}{n} = \frac{\text{número de casos favorables a } S}{\text{número de casos posibles}}

Se dice que un instrumento aleatorio es de Laplace cuando la probabilidad de todos sus sucesos elementales (casos) es la misma. Por ejemplo: una moneda, una baraja, etc.

Probabilidad Total

Tenemos $n$ sucesos incompatibles dos a dos tales que su unión es igual a $E$. Entonces, para cualquier suceso $S$, la probabilidad $P(S)$ descompuesta de este modo se llama probabilidad total.