Formulario Esencial de Derivadas y Representación de Funciones
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Tabla de Derivadas: Simples y Compuestas
| Función Simple | Derivada | Función Compuesta | Derivada |
|---|---|---|---|
| f(x) = k | f'(x) = 0 | - | - |
| f(x) = x | f'(x) = 1 | - | - |
| f(x) = xn | f'(x) = n·xn-1 | f(x) = un | f'(x) = n·un-1 · u' |
| f(x) = √x | f'(x) = 1/(2√x) | f(x) = √u | f'(x) = u' / (2√u) |
| f(x) = n√x | f'(x) = 1/(n·n√xn-1) | f(x) = n√u | f'(x) = u' / (n·n√un-1) |
| f(x) = ln x | f'(x) = 1/x | f(x) = ln u | f'(x) = u' / u |
| f(x) = loga x | f'(x) = 1/(x · ln a) | f(x) = loga u | f'(x) = u' / (u · ln a) |
| f(x) = ex | f'(x) = ex | f(x) = eu | f'(x) = eu · u' |
| f(x) = ax | f'(x) = ax · ln a | f(x) = au | f'(x) = au · ln a · u' |
Reglas Adicionales
- Regla de la cadena: (g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x)
- Producto de una constante por una función: (k · f)'(x) = k · f'(x)
Geometría de la Función
- Recta Tangente: y - y₀ = f'(x₀) · (x - x₀)
- Recta Normal: y - y₀ = -1/f'(x₀) · (x - x₀)
Pasos para el cálculo: Identificar datos faltantes, calcular f'(x), sustituir x₀ en f'(x) y aplicar la fórmula.
Derivabilidad y Continuidad
- Continuidad: Estudiar en funciones polinómicas y en los puntos de cambio de rama mediante límites laterales (x → n).
- Derivabilidad: Calcular f'(x) y estudiar las derivadas laterales. Nota: Si no es continua, no es derivable.
Representación Gráfica
- Dominio: Determinar el conjunto de definición.
- Puntos de corte (PD): Intersección con los ejes.
- Asíntotas: Verticales (AV), Horizontales (AH) y Oblicuas (AO).
- Monotonía y extremos relativos: Igualar f'(x) = 0. Estudiar el signo de f'(x) en los intervalos (f'(a) > 0 crece, f'(a) < 0 decrece).
- Curvatura y puntos de inflexión (PI): Igualar f''(x) = 0. Si f''(a) > 0 es cóncava hacia arriba; si f''(a) < 0 es cóncava hacia abajo.
Análisis de Asíntotas
- AV: Límites en los puntos donde el dominio no está definido.
- AH: Límite cuando x → ±∞. Comparar el signo sustituyendo valores grandes (±1000).
- AO: y = mx + n. Donde m = lim (f(x)/x) y n = lim (f(x) - mx).
Funciones a Trozos
- Verificar continuidad en los puntos de cambio.
- Calcular f(n) y límites laterales.
- Representar cada tramo y sus vértices correspondientes.