Guia de Vectors en el Pla: Operacions i Fórmules

Càlcul del Vector Unitari

Per obtenir un vector unitari, considerem el mòdul a = c. Si tenim el vector a(x, y), el vector unitari serà a(x/c, y/c).

Operacions amb Vectors: Multiplicacions

• Producte escalar: a · b = (x1, y1) · (x2, y2) = x1·x2 + y1·y2. El resultat és un número.
• Multiplicació per un escalar: 2 · a = 2(x, y) = (2x, 2y). El resultat és un vector.

Càlcul de Punts i Vectors

Trobar un punt d'un vector

Exemple: (6, k) = x(5, -1). Per resoldre-ho: 6 = 5x i k = -x, per així saber la solució de k.

Trobar el vector entre dos punts

Donats els punts A(x1, y1) i B(x2, y2), el vector es calcula com: AB = B - A.

Propietats i Tipus de Vectors

Trobar un vector equipol·lent

Els vectors equipol·lents tenen mòduls iguals: mòdul a = k · mòdul b.

Exemple: Arrel quadrada de (3 al quadrat més 5 al quadrat) = k · arrel quadrada de (2 al quadrat més 1 al quadrat).

Trobar un vector ortogonal o perpendicular

Dos vectors són perpendiculars (formen un angle de 90 graus) si el seu producte escalar és zero: (6, k) · (5, -1) = 0.

Trobar un vector paral·lel (//)

• Forma 1: Si tenim el vector v(v1, v2), el pendent és m = v2/v1. Cal igualar els pendents de dos vectors i buscar la x si és una incògnita.
• Forma 2: Utilitzant la fórmula a = k · v. Exemple: (3, 4) = k(1, x). Per tant, 3 = k i 4 = kx (igualant component x amb x, i component y amb y).

Combinació Lineal i Bases

Trobar la combinació lineal

Es tracta d'expressar un vector a partir d'altres: (1, 3) = k(2, 1) + t(5, 3). Es resol el sistema: 1 = 2k + 5t i 3 = k + 3t (x amb x, y amb y).

Independència i dependència lineal

• Linealment Independent: Té base.
• Linealment Dependent (LD): No té base. Per saber-ho, es comprova la proporcionalitat: (-1, 4) i (2, -8). Si -1/2 = -4/8 (igualant x1/x2 i y1/y2) i els resultats són iguals, són LD i no formen una base.

Base en el pla

Exemple de càlcul: (3, 1) = k(2, 5) + n(6, 0). Es resol: 3 = 2k + 6n i 1 = 5k + 0n (x amb x, y amb y...).

Geometria i Angles

Angle entre dos vectors

Es calcula amb la fórmula: cos α = (a · b) / (mòdul a · mòdul b).

Divisió d'un segment

Per saber el punt R si PR = 3/10 · PQ: primer cal fer Q - P i després R - P = (x, y) - (3, 5).

Exemple: x - 3 = 9/10 i y - 5 = -39/10. Cal trobar x i y per escriure el vector que volem saber.

Coordenades del punt mitjà

Si AM = MB, per saber el punt mitjà M fem servir: M((a1 + b1)/2, (a2 + b2)/2).

Trobar si els vectors estan alineats

Es compleix la condició: AB = k · AC.

Càlcul del baricentre

• Forma 1: AG = 2 · GM.
• Forma 2: G((a1 + b1 + c1)/3, (a2 + b2 + c2)/3).