Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

tipos de salto: lim f(x)= lim f(x) desigual f (a), es evitable.
                          x-->a+    x-->a-
lim f(x) desigual lim f(x), salto finito o infinito.
x-->a+              x-->a-                                A.V.: limites de los puntos que se despejan del denominador. A.H.:limites de +- infinito y se usan las 3 reglas. Si el de arriba es mayor que el de abajo=infinito, si el de arriba es menor que el de abajo=0, si son iguales se divide el de arriba entre el de abajo. A.O.: (para poder hacerse tene que ser el grado de arriba uno mas que el de abajo)División, dar valores al resultado, f(100 y -100) e Y(100 y -100). 

 

A.V.: limites de los puntos... Continuar leyendo "Matematicas, derivadas" »

Verbos modales.

Can: poder/ saber (habilidad, sugerencia, peticion)

Can´t: no poder/ no saber (seguridad, de que algo es posible).

Be able to: ser capaz de (habilidad).

Could: poder/saber en pasado (habilidad, sugerencia formal, peticiones)

May: puede, posibilidad, petición formal.

Might: podría, posibilidad.

Must: deber (obligación, deducción, seguridad de que algo es verdad)

Have to: tener que, obligación

Need to: necesitar

Needn´t to: no necesitar, no tener obligación.

Musn´t: prohibición.

Don´t have to: no tener la obligación.

Should: debería, dar un consejo.

Ought to: debería, es + formal que should, opinión y consejo.

Verbos modales perfectos (pasado)

Must have (deber haber): certeza de que algo lógico o un hecho pasado.

Might / May

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ANALISIA

Azterketa hasi baino lehen, testua hobeto ulertzen lagunduko diguten zenbait termino argituko ditugu: "Librekanbismoa" (doktrina ekonomikoa, protekzionismoaren aurkakoa, Estatuaren esku-hartzerik gabe), "Trakzio-materiala", "Trakzio-materiala" (lokomotorak …).

·  Federico Echevarria Rotaeche: enpresa gizona, politikaria, polifazetikoa izan zen, besteak beste, Aceros Echevarriaren sortzailea izan zen 1878an. Librekanbismoaren kontrako eta protekzionismoaren aldeko jarrera defendatzailea izan zen, baita Euskal Ekoizleen Elkartearen kidea eta presidentea ere. Bizkaiko diputatu eta senatari liberala hautatu zuten.

·  Protekzionismoa: Ekonomian, protekzionismoa estatu bateko gobernuak produktu edo sektore ekonomiko jakin batzuei ematen

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ERRORES

Error relativo

Error absoluto

Racionalización

Racionalización del tipo

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador

Racionalización del tipo 

Se multiplica numerador y denominador por 

Racionalización del tipo 

Se multiplica el numerador y el denominador por

SUCESIONES

Progresiones aritméticas

An = a1 + (n - 1) d

Suma de los términos de una progresión aritmética

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Progresiones geométricas

a_n = a₁ × r^n-1

Suma y producto de los términos de una progresión geométrica

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Distancia entre dos puntos:
d(p,q)= raiz (y2-y1)² =

Coordenada el punto medio de un segmento:
x= x1+x2y= x1+x2= (x,y)
        2 2
Pendiente de dos puntos diferentes de una recta:
m= y2-y1
      x2-x1
Rectas paralelas > solo son paralelas si son iguales:
m1= y2-y1  m2= y2-y1
       x2-x1          x2-x1
Rectas perpendiculares solo son perpendiculares si son =-1
m1.m2=-1+
Ecuacion de la recta punto pendiente
y-y1=m(x-x1)
Ecuacion de la circunferencia
c(a,b) es : (x-a)² + (y-b)² = r²
Ecuacion de la parabola cuyo eje coincide con el eje y
y² = 4py
Ecuacion de la parabola cuyo eje coincide con el eje x
x² = 4px
Ecuacion de una parabola de vertice (h,k)
(y-k)² =4p(x-h)² 
Ecuacion de la hiperbole del centro (h,k) y el eje focal paralelo... Continuar leyendo "Geometria analitica" »

Logaritmos:

LogaB=X...a^x=B

Log a*b= loga+logb

Loga/b=loga-logb

logx^a=alogx

Trigonometria:

sen^2+cos^2=1  1+cotg^2=cosec^2  tg^2+1=sec^2

sen(a+b)=senAcosB+cosAsenB 

cos(a+b)=cosAcosB+senAsenB

tg(a+b)=sen(a+b)/cos(a+b)=seAcosB+cosAsenB/cosAcosB+senAsenB=tgA+tgB/1-tgAtgB

sen(a-b)=sen(a+(-b))=senAcos(-B)+cosAsen(-B)=senAcosB+cosAsen(-B)=senAcosB-cosAsenB

cos(a-b)=cos(a+(-b))=cosacos(-B)-senasen(-B)=cosAcosB-senA(-senB)=cosAcosB+senAsenB

tg(a-b)(tga+(-b))= tgA+tg(-b)/1-tgAtg-B=tgA+(-tgB)/1-tgA(-tgB)=tgA-tgB/1+TgAtgB

sen2a=sen(a+a)=senAcosA+cosAsenA=2senAcosA

cos2a=cos(a+a)=cosAcosA-senAsenA=cos^2A-sen^2A

tg2A=tg(a+a)=tgA+tgA/1-tgAtgA=2tgA/1-tg^2A

senA+senB=sen(a+b)+sen(a-b)=sanAsanB+cosAcosB+senAcosB-cosAsenB=2senAcosB=2sen(A+B/2)cos(A-B/2)

Teorema del coseno:... Continuar leyendo "Trigonometría del 1" »

1. La derivada de una constante es 0                               

1. La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad. 
   
   
2. La derivada de la suma algebraica de un número finito “n” de funciones es igual a la suma algebraica de la derivada de las funciones.
   
    
   
   
3. La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
   
   
4. La derivada de un producto de 2 funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda mas el producto de la segunda función por la derivada de la primera.
   
    
   
5. La derivada de la potencia de una función de un exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada

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Eboluzioaren teoriak: Eboluzionismoa eta Fixismoa aurrez aurre egon ziren.

Eboluzioaren Teoriak

Fixismoak dio espezie guztiek, sortu zirenetik, ez dutela inolako aldaketarik jasan.

Eboluzionismoaren arabera, unibertsoa eta izaki bizidun mota guztiak garapenaren emaitza dira, eta espezieen aniztasuna egokitzapenaren ondorioa da.

Lamarckismoa

Eboluzio biologikoaren lehen teoria izan zen. Teoriaren oinarriak honako hauek dira:

• Organismo sinpleetatik konplexuetarainoko prozesua oso geldoa da.
• Ingurumenari moldatzeko aldaketak gertatzen dira.
• Organismoek bete behar dituzten funtzioen ondorioz izango da.
• Karaktereak heredatu egiten dira, ingurumenari moldatzeko arazorik ez izateko (hau ezin izan zuen Lamarckek frogatu).

Darwinismoa

Galapagos eta Hego Amerika... Continuar leyendo "Eboluzioaren Teoriak eta Gizakiaren Jatorria" »

Estadística Descriptiva e Inferencial

La estadística descriptiva tiene como función principal describir datos. Los métodos que utiliza son: recolección, presentación y análisis de datos.

Por otro lado, la inferencia estadística tiene como fin primordial predecir y, en base a la información muestral, sacar conclusiones respecto a la población en su totalidad.

Conceptos Básicos

• Población: Es la totalidad de personas, elementos o cosas que tienen una característica común observable en un momento y lugar determinado.
• Muestra: Parte representativa de la población que es usada para lograr información. Se puede obtener por distintos tipos de muestreos: simple al azar, estratificado, sistemático y por conglomerado.
• Parámetro: Medida de

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Proporcionalidad

Se denomina razón al resultado de la comparación de dos cantidades (términos). Se llama proporción a la igualdad de dos razones (a/b = c/d).

Cuarto Proporcional

El segmento X que es el cuarto proporcional a tres segmentos conocidos (a/b = c/x).

Tercero Proporcional

Se denomina proporción continua aquella en la que los medios o los extremos se repiten (a/b = b/c).

Medio Proporcional

Cuando en una proporción continua se desconoce el término repetido (medio proporcional) (a/x = x/b) o (x² = ab).

Semejanza Geométrica

Cuando tienen sus ángulos iguales y lados proporcionales. La razón de semejanza es la relación que guardan los puntos y líneas que están en la misma dirección relativa.

Criterios de Semejanza de Triángulos

• Dos

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