Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Posición Relativa entre Recta y Plano

Forma 1: Estudio mediante Matrices y Rangos

Para determinar la posición, se debe construir la matriz (M) y la matriz ampliada (M').

• Si los dos rangos son iguales a 3 (Rango(M) = Rango(M') = 3): Se trata de un SCD (Sistema Compatible Determinado); la recta y el plano se cortan en un punto único, siendo la recta secante al plano.
• Si los dos rangos son iguales a 2 (Rango(M) = Rango(M') = 2): Se trata de un SCI (Sistema Compatible Indeterminado); la recta está contenida en el plano.
• Si el Rango(M) = 2 y el de la ampliada (M') = 3: Se trata de un Sistema Incompatible; la recta y el plano no se cortan, por lo tanto, la recta es paralela al plano.

Forma 2: Uso de Vectores y Puntos

Consiste en obtener el punto de... Continuar leyendo "Geometría Analítica en el Espacio y Cálculo Integral: Posiciones Relativas, Ángulos y Distancias" »

Ejercicios resueltos de álgebra y cálculo multivariable

1. Subespacio vectorial en R⁴

Considere el subespacio vectorial S de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones. Encuentre una base de S y escriba sus ecuaciones paramétricas.

Solución:

Dimensión = n - número de ecuaciones cartesianas linealmente independientes (LI). Si una variable no aparece en las ecuaciones cartesianas, es un parámetro. Si aparece en ambas, también lo es. Se define S = {&, &, &, @} y, como la dimensión es 2, se buscan 2 vectores para la base.

2. Aplicación lineal en R²

La aplicación lineal f: R² -> R² es tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (0, -1). Exprese la matriz de dicha aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Solución:

Ejercicios de Matemáticas: Optimización, Probabilidad y Sistemas de Ecuaciones

Ejercicio 1: Optimización de Lámparas

Sopranos y Mezzos

Restricciones:

• x + y + z = 15
• 20x + 30y ≥ 6000 (Simplificado: 2x + 3y ≥ 600)
• 20x + 10y (Simplificado: 2x + y)

Ejercicio 2: Optimización de Unidades Sueltas y Lotes

Unidades Sueltas

y - 2 = z - 1

Lotes de 4

x + 4y

x+3y

Beneficio: B(x) = -x² + 360x - 18000

A) Calcular el beneficio para 100 unidades.

1. Sustituir x = 100 en B(x).

¿Cuántas unidades se han vendido si el beneficio diario es de 13500?

1. Igualar 13500 = -x² + 360x - 18000.

B) Número de unidades para beneficio máximo. ¿A cuánto asciende el beneficio?

1. Derivar B(x).
2. Igualar la derivada a 0.
3. Calcular B(180) y hacer un boceto.

C) ¿Cuántas unidades hay que vender

Antzinako Erregimenaren Krisialdia: Espainiako Erresuma XVIII. Mendean

XVIII. mendean, Espainian Borboitarrak zeuden agintean. Borboitarrak errege absolutistak ziren. Absolutismoaren arabera, erregeen botere politikoa (gizarte politiko bat antolatzeko eskubidea eta ahalmena) Jainkoak emanda zegoen.

Borboitarren absolutismoak Ilustrazioan eragina izan zuen. Ilustrazioa XVIII. mendeko mugimendu filosofiko-kulturala izan zen.

Erregimen Zaharraren Oinarriak

• Erregeen botere pertsonala.
• Nobleen pribilegioak.
• Elizaren nagusitasuna eta erlijioaren gehiegizko eragina.

Ilustrazioaren Filosofia

Ilustratuek arrazoiaren bitartez jendartea “argitu” nahi zuten. Ilustrazioaren filosofia Argien Filosofia izenez ezagutzen da.

Filosofo ilustratuek progresoan sinesten... Continuar leyendo "Antzinako Erregimenaren Krisia: Borboitarrak XVIII. Mendean" »

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X)Peso (Y)

1868518985
1908619290
1938719391
19893201103
203100205101

Calcular:

1 La recta de regresión de Y sobre X.

2 
El coeficiente de correlación.

3 
El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

Xiyixi²yi²xi ·yi

1868534 5967 22515 8101898535 7217 22516 065
1908636 1007 39616 3401929036 8648 10017 280
1938737 2497 56916 7911939137 2498 28117563
1989339 2048 64918 41420110340 40110 60920 703
20310041 20910 00020 30020510142 02510 20120 705

1 950

921

380 618

85 255

179 971

Correlación positiva muy fuerte.

Tipos de ángulos y relaciones

Ángulos correspondientes: Son los ángulos que se encuentran en el mismo lado de la secante, formando parejas: A–E, C–G, B–F, D–H.

Alternos internos: Son los ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante: C–F, D–E.

Alternos externos: Son los ángulos exteriores que se encuentran en uno y otro lado de la secante: A–H, B–G.

Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman grados sexagesimales; es decir, si dos ángulos complementarios son, además, consecutivos, los lados no comunes de estos forman un ángulo recto.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos y son suplementarios si suman 180°.

Ángulos adyacentes y opuestos

Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos... Continuar leyendo "Tipos de ángulos y criterios de triángulos: definiciones y propiedades geométricas" »

sen co/h cos c/h Tag co/h. 1+++2+--3--+4-+- sen"&+cos"&=1 tag= sen&/cos&. 1+tag"& = sec"&. 1+cotg2&=cosec"&. sen &+B = sen&cosB+cos&senB cos (&+B)= cos&cosB+sen&senB tag &+B = tag&+tabB/1+tagB sen &-B = sen&cosB-cos&senB cos &-B = cos&cosB+sen&senB tab &-B = tag&-tagB/1+tagBsen2&= 2sen&cos& cos2&= cos"&-sen"& tan2&= 2tag&/1-tag"&. a/senA=b/senB=c/senC a"=b"+c"-2bc cosA. b" = a"+c"-2sc cos B c"= a"+b"-2ac cosC

w= &u+Bv /u/= raiz cuadrada de u1"+u2". & = arcotag u2/u1 Vector Ab= (b1-a1, b2-a2) M ( a1+b1/2, a2+b2/2) alineados si AB y AC tienen la misma dirección es decir sus coordenadas son proporcionales.... Continuar leyendo "Formulario de Trigonometría y Geometría Analítica: Fórmulas Esenciales" »

Ekonomia-zikloen Teoriak

• Kondratieff: epe luzeko krisiak aztertu zituen, prezioen azterketa estatistiko baten bidez. Ziklo bakoitzak 45-50 urte irauten du eta bertan gorakadak zein beherakadak ematen dira. Bere ondorioen arabera, kapitalismoak krisiak behar ditu irabaziak atera ahal izateko.

• Schumpeter: Kondratieffen zikloentzako azalpena eman zuen. Haren ustez, gorakada bakoitza unean uneko aurrerapen teknikoekin lotuta dago; hauek aplikatzean, zabalkunde ekonomikoa eta lanpostu berriak sortzen dira. Hala ere, ekonomiak muga bat du eta une batetik aurrera ezin du gehiago tira egin. Orduan krisia dator, doikuntzak egiten dira eta hainbat enpresa desagertzen dira, beherakada bat eraginez. Egoera honi aurre egiteko, beste aurrerapen tekniko bat

1. Comentar la 2.ª y 3.ª etapa del historial de aglomeración

Segunda etapa

En la segunda etapa aparecen, en primer lugar y por primera vez, el clúster 3 y el clúster 6, volviendo a aparecer el clúster 3 en la etapa 6 junto con el clúster 2; este último vuelve a aparecer en la etapa 11 junto con el clúster 8. El clúster 2 vuelve a aparecer en la etapa 13 junto con el 15, seguidamente en la etapa 14 junto con el 4, después en la etapa 15 junto con el clúster 9 y, por último, aparece en la etapa 16 junto con el clúster 1.

Tercera etapa

En la tercera etapa aparecen el clúster 2 y el 17, que vuelven a aparecer en la etapa 6…

2. ¿Dónde efectuaría el corte en el dendrograma para una solución de 4 conglomerados? ¿Qué comunidades formarían

Estadística: Conceptos Fundamentales

La Estadística es la rama de las matemáticas que se encarga de recopilar, organizar, procesar, visualizar e interpretar datos.

Definición de Datos

Los Datos son cada uno de los valores obtenidos (las "respuestas") en un estudio estadístico.

Tipos de Datos según su Procesamiento

• Datos sin procesar: Datos que no han sido analizados ni procesados mediante métodos estadísticos.

Clasificación de Variables Estadísticas

Variables Cualitativas

Se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números.

• Nominal: No admiten un orden específico (ej. color de ojos).
• Ordinal: Sí existe un orden o jerarquía (ej. nivel de satisfacción).

Variables Cuantitativas

Se expresan mediante un número y... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Estadística Descriptiva y Medidas de Posición" »