Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Reacciones Reversibles de Primer Orden

Consideremos el esquema de reacción: A ⇌ B, con constantes de velocidad k₁ y k₋₁.

Si llamamos [A]₀ a la concentración inicial de A, suponemos que la concentración inicial de B es cero y llamamos x a la concentración de B en un tiempo cualquiera t, tenemos:

-d[A]/dt = -d([A]₀ - x)/dt = dx/dt = k₁([A]₀ - x) - k₋₁x

Es interesante destacar que a medida que avanza la reacción, la velocidad de la reacción directa disminuye, mientras que la de la inversa aumenta. Llega un momento en el que ambas se hacen iguales; en ese caso, se ha alcanzado el equilibrio y las concentraciones de A y B, que ya se mantienen constantes, serán, respectivamente, [A]₀ - xₑ y xₑ.

k₁([A]₀ - xₑ) = k₋₁xₑ

xₑ... Continuar leyendo "Cinética Química: Reacciones Reversibles y Consecutivas" »

Conceptos de Producción

• Producto total: Es la producción total en unidades físicas que se obtiene por cada volumen de factor empleado.
• Producto medio: Es la producción por unidad de factor; es decir, cuánta producción obtiene cada factor empleado (PT / Unidad de factor).
• Producto marginal: Es la cantidad que consigue cada unidad de factor adicional (PMg = PTn - PTn-1).
• Ley de rendimientos decrecientes: Esta ley establece que, a partir de un número determinado de factor, el producto marginal disminuye a medida que aumenta el empleo de un factor, manteniendo el resto de los factores constantes.

Horizontes Temporales

• Corto plazo: Es aquel periodo de tiempo en el que la empresa tiene factores de producción variables que puede modificar, pero

Funciones Matemáticas: Una Introducción

Una función es una relación entre dos variables. La primera es la variable independiente, que denominamos 'x', y la segunda es la variable dependiente, 'y'. Se cumple cuando a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

Formas de Representar una Función

1. Forma de tabla: Se colocan los valores de la variable 'x' en una fila o columna de una tabla y los valores correspondientes de 'y' en la contigua.
2. Forma gráfica: Se representa la función en ejes cartesianos.
3. Forma analítica: Se relacionan las variables mediante una fórmula.

Dominio e Imagen de una Función

Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente 'x'.

Imagen: Es... Continuar leyendo "Entendiendo Funciones Matemáticas: Dominio, Tipos y Representación" »

Os Séculos Escuros da Lingua Galega

O galego e o portugués consolídanse como linguas estatais e viven cada unha o seu propio proceso de estandarización. O afastamento das linguas irmás é provocado pola fronteira con Portugal. No s. XV e XVI aparecen as primeiras gramáticas do español, portugués e italiano, mentres que as do galego aparecen no s. XIX.

O Impacto da Política Borbónica e a Castelanización

O cambio de dinastía da casa dos Austrias aos Borbóns trouxo consigo unha política de uniformización do Estado que tiña como obxectivo organizar os territorios que dependían da corte de Castela e crear un Estado nacional centralizado onde a cada estado lle correspondería unha nación e unha lingua. O castelán vaise convertendo... Continuar leyendo "A Lingua Galega: Historia, Gramática e Tipoloxías Textuais" »

Ejercicio 1: Monopolio con función de producción Cobb-Douglas

Monopolio con función de producción Y = K^1/2L^1/2, función de demanda P_Y = 80 - Y, precios de los factores w = 4 (salario) y r = 1 (renta del capital), y K constante igual a 1.

1) Demanda que maximiza el beneficio

Se plantea el beneficio como:

Max B = P_YY - (wL + rK), s.a. Y = f(K, L)

Sustituyendo la restricción tecnológica Y = 2L^1/2 en el beneficio y derivando respecto a L:

dB/dL = 80L^1/2 - 4 - 4 = 0

Despejando: 80 / L^1/2 = 8, es decir, L^1/2 / 80 = 1/8, de donde L = 100.

Sustituyendo L = 100 en la función de producción se obtiene el nivel de producción Y, y luego se sustituye en la función de demanda inversa para obtener el precio P.

2) Función de costos y demanda condicionada

La Elasticidad

La elasticidad mide la variación que provocan los cambios de la variable independiente sobre la variable dependiente. La más utilizada es la elasticidad-precio. Mediante esta, se estudia la proporción en que varía la cantidad ofrecida o demandada de un bien ante las modificaciones de su precio.

La elasticidad-precio de la demanda de un bien es la variación porcentual de la cantidad demandada de dicho bien ante una variación porcentual del precio de este.

Tipos de demanda

• Elástica: La demanda es elástica cuando una variación porcentual del precio provoca una variación porcentual mayor y de signo contrario en la cantidad demandada. La elasticidad presenta entonces un valor mayor que la unidad.
• Inelástica: Cuando una variación

1.Dados los vectores u:(0,1,1) v(1,0,1) w(2,3,m)

2. Dado el punto A(5,2,8) y el plano &:2x-... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Álgebra Vectorial, Planos y Rectas en el Espacio Tridimensional" »

Càlcul d'Àrees i Volums amb Vectors

Àrea d'un paral·lelogram

L'àrea del paral·lelogram es defineix com el mòdul del producte vectorial dels dos vectors. El resultat s'obté calculant l'arrel quadrada de la suma dels components al quadrat.

Àrea d'un triangle a partir de punts

Per trobar l'àrea d'un triangle amb vèrtexs A, B i C, primer es calculen els vectors AB i AC (restant les coordenades dels punts). Amb els dos vectors trobats, es realitza el producte vectorial i al resultat se li aplica el mòdul (Pitàgores). Recorda que el resultat final s'ha de dividir per dos.

Àrea amb angle conegut

Per calcular l'àrea d'un paral·lelogram format per dos vectors u i v amb un angle de 30º, s'aplica la fórmula: |u| · |v| · sin(30º).

Volum del

Vectors

Modul: . Vectors equipolents: aquells que tenen les mateixes components cartesianes; AB (2, -5) i CD (2, -5). Polar a components cartesianes :

Vector unitari: . Producte escalar: . Vectors perpendiculars: Canviar el signe d'un dels vectors; .

Rectes

Equació vectorial: . Equacions paramètriques: . Equació contínua de la recta: . Equació general: Vector director de la recta és (-b,a). Equació explícita: , on m (pendent) i n (ordenada). Equació canònica: . Determinació de rectes: . Paral·lelisme: 1r pas- obtenir vector o pendent de la recta origen. 2n pas- obligar a la nova equació a que passi pel nou punt. Distàncies: entre dos punts, buscar vector i fer el mòdul. Entre 1 punt i 1 recta: .

Circumferències

.

Contraste de hipótesis: inteligencia en alumnos de 6.º de primaria

Una psicóloga que trabaja en el servicio de orientación de un colegio decide aplicar una prueba de inteligencia a los alumnos de 6.º de primaria de su centro. El test de inteligencia ofrece, en el baremo, una media de 100 para niños y niñas de 12 años. La psicóloga aplica la prueba a 85 alumnos de 6.º de primaria, obteniendo una media muestral de inteligencia de 105 y una desviación típica muestral de 15. La psicóloga no está segura de si los 5 puntos de diferencia entre los datos de su colegio y los del baremo es una distancia lo suficientemente grande como para afirmar que los alumnos de su centro son más inteligentes que la población normal.

Datos

• Población: