Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

en la isoquanta no existeixen tranf monotones, els inputs actuen de manera monotona, rts: relació tecnica de substitució: tngent en un punt d'una isoquanta. : - pmg L / pmg K --- si et diuen troba equació de la isoquanta:
funció, ailles K  i si et diuen si y = 8000 doncs aamb la formula de k ja esta surt en funció d'L. -- funció: treballadors = L i maquines K : per saber la producció:
Substitueixes a la funció i et donara y.. 

Demostraciones de Congruencia Geométrica

1. Congruencia de los Triángulos ABC y BAD

Consideramos los triángulos ABC y BAD:

• Lado AD = Lado BC. (Lados del cuadrado son iguales)
• Ángulo DAB = Ángulo CBA. (Ángulos rectos de un cuadrado, 90°)
• Lado AB = Lado AB. (Lado común)

Por lo tanto, ΔABC ≅ ΔBAD. (Criterio Lado-Ángulo-Lado: Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes).

• AC = BD. (Partes homólogas de figuras congruentes son iguales).

2. Congruencia de los Triángulos APD y BPC

Consideramos los triángulos APD y BPC:

• Ángulo DAP = Ángulo CBP. (Ángulos de un cuadrado, 90°)
• Lado AD = Lado BC. (Lados del cuadrado)

Zer da jakitea?

Jakitea errealitatearekin harremanetan jartzea da, hura bereizi eta ulertzeko. Jakitea errealitatea atzematea da. Atzemate horren bidez, errealitatea pertsonen baitan finkatuta gelditzen da, adierazita, beste pertsona batzuei transmititua, sistematizatuta eta tradizio batean txertatuta.

Jakintza iturriak

Gizakiak bi jakintza iturri nagusi ditu: sentikortasuna eta arrazoimena. Sentikortasunak gauzei buruzko oinarrizko esperientzia ematen du, baina bere datuak beti testuinguru batean daude. Esperientzia eta arrazoimena nahasian gertatzen dira beti.

Dedukzioa

Dedukzioa: premisa batetik ondorio bat lortzen da. Dedukzioak hiru atal ditu:

• Axiomak: sistemen funtsezko, frogaezinak diren printzipioak.
• Antolaketa eta eraldaketa arauak: sistemak

Distribución de Probabilidad de Variable Continua

Definición de Distribución de Probabilidad: La distribución de probabilidad de una variable continua se define a partir del área bajo una función, la cual se denomina "función de densidad".

Condiciones de la Función de Densidad

• No puede tomar valores negativos.
• El área entre la función y el eje X debe ser igual a 1.

Cálculo de Probabilidades en Variables Continuas

En una distribución continua, la probabilidad de cualquier valor concreto es 0. La probabilidad entre dos valores es igual al área de la función que queda entre ellos.

La Distribución Normal

• Se denota como N(media, desviación típica).
• Muchas situaciones en la naturaleza y la sociedad siguen una distribución normal (e.g., altura,

Estudiante

Para estimar la proporción de estudiantes a nivel nacional que tienen licenciatura en administración de empresas o contaduría, podemos utilizar un intervalo de confianza.

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza para la proporción poblacional está dado por:

p ± z*(sqrt(p*(1-p)/n))

Donde p es la proporción muestral, z es el valor crítico correspondiente al nivel de confianza y n es el tamaño de la muestra.

En este caso, la proporción muestral es 54/250 = 0.216 y el tamaño de la muestra es 250. Para encontrar el valor crítico z correspondiente al nivel de confianza del 92%, podemos utilizar la tabla de valores de la distribución normal estándar o una calculadora estadística. En ambos casos, encontramos que z = 1.75.... Continuar leyendo "Estimación de proporciones y pruebas de hipótesis" »

Conceptos Esenciales de Probabilidad y Estadística

A continuación, se presentan una serie de afirmaciones y problemas relacionados con la teoría de la probabilidad y la estadística, abordando propiedades de variables aleatorias, técnicas de conteo y cálculo de probabilidades de sucesos.

1. Propiedades de Variables Aleatorias Lineales

   Dada la variable aleatoria X y la variable aleatoria Y = X - b, entonces:

   • Ninguna de las anteriores es correcta: V[Y] = V[X] + b², E[X] = E[X] + b, E[Y²] = E[X²].

   (Nota: Para Y = X - b, la varianza V[Y] = V[X] y la esperanza E[Y] = E[X] - b. Las opciones presentadas son incorrectas.)

2. Transformaciones Lineales de Variables Aleatorias

   Dada la variable aleatoria X y la variable aleatoria Y = X + b, entonces:

   • V[Y] = V[X]

Geometría Analítica en el Espacio

Ecuaciones de la Recta y el Plano

Ecuaciones de la Recta

Para definir la ecuación de una recta en el espacio, se necesita un punto por el que pase la recta y un vector director que indique su dirección.

• Ecuación Vectorial
• Ecuación Paramétrica
• Ecuación Continua
• Ecuación General (o Implícita)

Ecuaciones del Plano

Para definir la ecuación de un plano, se necesita un punto perteneciente al plano y dos vectores directores no paralelos entre sí que sean paralelos al plano.

La Ecuación General del plano se puede obtener de varias maneras, por ejemplo, a partir de un vector normal al plano y un punto, sustituyendo las coordenadas del punto para hallar el término independiente D.

Posiciones Relativas de Elementos

Conceptos Básicos de Relaciones y Funciones

• Relación: Correspondencia que existe entre dos conjuntos; a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Cuando le corresponden dos o más, se considera una relación.
• Función: Relación entre un conjunto x y otro conjunto de elementos y, de forma que a cada x le corresponde un único valor en el codominio.
• Regla de correspondencia: Consiste en asignar un elemento único de un cierto conjunto a cada elemento único de otro conjunto.

Variables y Elementos de una Función

• Variable independiente: Se representa con x.
• Variable dependiente: Es aquella cuyo valor depende del valor numérico que adopta la variable independiente en la función; se representa con