Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Ejercicio 1. Verdadero/Falso razonado

a) Si G es un grafo plano con 14 aristas, es regular y tiene un vértice de grado 4, entonces G tiene necesariamente 9 caras.

Respuesta: Cierta.

Por la ley de los emparejamientos de grados (suma de los grados igual a dos veces el número de aristas) se tiene 2|E| = 28. Si G es regular de grado 4, entonces 4n = 28, donde n es el número de vértices. De ello n = 7.

Aplicando el teorema de Euler para grafos planos: n - m + f = 2, donde m = 14 y f es el número de caras. Así, 7 - 14 + f = 2, por lo que f = 9. Por tanto, la afirmación es verdadera.

b) Si n ≥ 3 y K_n es el grafo completo de n vértices, entonces es hamiltoniano siempre y nunca es bipartido.

Respuesta: Cierta.

Si los vértices son v1, v2, …, v_... Continuar leyendo "Teoría de grafos: teoremas y conceptos sobre planaridad, Hamilton y bipartición" »

A Traxedia Grega: Autores e Estrutura

Case todo canto coñecemos do xénero da traxedia grega débese ás obras conservadas dos tres autores que xa o Mundo Antigo considerou de maior calidade: Esquilo, Sófocles e Eurípides.

Esquilo: O Pai da Traxedia

Del coñecemos uns 80 títulos, aínda que só conservamos completas seis das súas obras:

• Os Persas (472 a.C.): única traxedia conservada de tema non mitolóxico.
• A triloxía chamada A Orestíada (458 a.C.), composta por Agamenón, As Coéforas e As Euménides.

Segundo parece, durante un tempo foi costume para os autores que se presentaban ó certame das Grandes Dionisíacas ofrecer tres traxedias de tema común, aínda que despois de Esquilo esta práctica foi menos frecuente.

A Xustiza Divina no

Resumen de Métodos y Fórmulas Matemáticas

1. Optimización de Funciones

Para resolver problemas de optimización, sigue estos pasos:

• 1- Planteamiento del sistema de 2 ecuaciones.
• 2- Resolución de la primera ecuación y sustitución en la otra.
• 4- Cálculo de la primera derivada para hallar el punto crítico.
• 5- Igualar a 0 (f'(x) = 0) para despejar la incógnita.
• 6- Cálculo de la segunda derivada para determinar si es un máximo o mínimo:
  • Si f''(a) < 0, es un máximo.
  • Si f''(a) > 0, es un mínimo.
  • Si f''(a) = 0, se requiere un análisis del intervalo.
• 7- Se resuelve el problema final.

2. Geometría Analítica

• Vector entre dos puntos: AB = B - A.
• Ángulo entre vectores: cos α = |n · n| / (|n| |n|).
• Producto vectorial: Si falta un vector, utilizar

Operaciones Fundamentales con Vectores

Producto Escalar de Dos Vectores

El producto escalar entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{e}$ se define como: $$\vec{a} \cdot \vec{e} = |\vec{a}| \cdot |\vec{e}| \cdot \cos(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre ellos.

Operaciones con Componentes

• Producto Escalar (Componentes): Si $\vec{u} = (a, b)$ y $\vec{v} = (c, d)$, entonces: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot c + b \cdot d$$ El resultado es un **escalar (número)**.
• Módulo de un Vector: El módulo del vector $\vec{u} = (a, b)$ es: $$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Argumento de un Vector

Para un vector $\vec{u} = (3, 4)$: $$\tan(\alpha) = \frac{4}{3} \implies \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$$

Proyección Vectorial

La proyección de $\vec{u}... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica Vectorial y Rectas" »

Factoring

1-Una empresa entrega a una sociedad de Factoring una factura de 20.000 € más Iva del 21% con fecha de cobro dentro de 150 días para su cobro anticipado. La sociedad cobra una comisión del 0.25% con un mínimo de 8 euros y un interés anual del 9%. Calcular el efectivo que recibirá la empresa, así como el TAE.

d= 9%               n=150       

D=  =  = 907.5   

G = N* C%= (20.000*1.21)*0.25%= 60.5

Ec = N – D – G = (20.000*1,21) – 907.5 – 60.5= 23.232€

E_TAE = Ec + Com. Mínima = 23.232 + 8 = 23.240 euros

N = E_TAE è 24.200 = 23.240 i_tae = -1 = 0.1035= 10.35%

Suma

Como trabajo previo a la introducción del algoritmo de la suma, hay que haber trabajado:

• Cómo se cuentan los objetos
• Materiales: ábaco, bloques multibásicos, regletas Cuisenaire…

Proceso:

• Representar los sumandos
• Juntar
• Reagrupar (siguiendo las reglas del SND)
• Contar cada posición, escribir resultado.

• Estructura del SND (Sistema Numérico Decimal)
• Propiedades conmutativa y asociativa
• Combinaciones básicas: tablas de sumar.

Resta

Algoritmo de la Resta:

• Se escribe el minuendo y debajo el sustraendo de manera que las unidades de un mismo orden de los dos números queden situadas en la misma columna.
• Se traza una raya horizontal debajo del sustraendo.
• En la columna de la derecha:
  • Si la cifra del minuendo es mayor o igual que la del sustraendo, se restan

Procedimientos Fundamentales de la Inversión Geométrica

1. Determinación del punto inverso de B

Dado el Centro de Inversión O y un par de puntos inversos A, A’, para determinar el punto inverso de B:

• Dibujar la circunferencia que pasa por A, A’ y B.
• Trazar las mediatrices de los segmentos A-A’ y A-B. El punto de intersección es el centro de la circunferencia buscada.
• Unir B con el Centro de Inversión para obtener B’.

2. Determinación del punto inverso de A mediante la Circunferencia de Puntos Dobles

Dado el Centro de Inversión O y el valor de la inversión OT:

• Dibujar una circunferencia de radio OT con centro en O (Circunferencia de Puntos Dobles).
• Tomar un punto T cualquiera de la circunferencia.
• Dibujar la mediatriz del segmento A-T

Utopia eta Distopia: Definizioa eta Historia

Utopiak aurkeztu diren gizarte perfektu edo idealak dira, batzuetan gauzagarriak diruditenak, eta, oro har, munduaren kritika bat adierazteko erabili izan direnak. Distopiak, berriz, utopiaren kontrakoak dira, hau da, utopia negatiboki ikusita daudenak. Utopia eta distopia kontrako terminoak dira, eta haien artean errealitatea dago; errealitate hori hoberantz joanez gero, utopiara hurbildu daiteke, edo okerrerantz badoa, distopiara. Horrela islatzen da “Jardin de las delicias” margolanean: erdian errealitatea aurkitzen da, eta alboetan utopia eta distopia, hau da, errealitatea hoberantz edo okerrerantz joanda. Utopia eta distopiaren artean nahasmena sortu da beti, utopiek elementu distopikoak... Continuar leyendo "Utopia eta Distopia: Kontzeptuak eta Adibideak" »

Rectas Paralelas y Transversales

Definición: Las rectas paralelas contenidas en un mismo plano son aquellas que no tienen puntos en común; esto equivale a decir que son coplanarias y su intersección es vacía.

Si dos rectas son cortadas por una tercera recta, a esta tercera recta se le conoce como transversal.

Definición: Una transversal es una recta que corta a dos o más rectas de un mismo plano en puntos diferentes.

Teoremas y Postulados de Paralelismo

Teorema: Si una recta en un plano es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces es perpendicular a la otra.

Teorema: Los ángulos correspondientes formados por dos rectas y una transversal son congruentes si y solo si las rectas son paralelas.

Postulado 6: Dos o más ángulos correspondientes... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría: Rectas, Triángulos y Semejanza de Figuras" »

EUSKELDUNEN BATZOKIJA

1.SAILKAPENA

Testu Hau politikoa da sortu berri den erakundearen baldintzak agertzen direlako, Sabino Aranaren ideiak agertzen direlarik. Egilea Sabino Arana da eta nahiz eta Euskaldun guztiei idazten dien egileak, egia da bereziki Bizkaitarrei zuzentzen Zaiela (Jainkoaren eta Lege Zaharraren lemaren alde dauden guztiei). Testu hau Bilbon 1894. Urteko maiatzaren 24an argitaratu zen.

2.ANALISIA

Testu Honek zortzi artikulu ditu, lehenengo zazpietan bereiziki Bizkaiaz hitz egingo Duelarik:

Lehenengo artikuluan, Bilbon aisiarako zentro bat sortzen dela dio, bi lege Garrantzitsuren menpe: Jainkoa eta Lege Zaharra.

Bigarren Artikuluan, elkarte horretan zuzendaritza bat sortuko dela dio, eta hau Sabino Aranaren esku egongo dela, berak... Continuar leyendo "Euskaldunen Batzokija: Sabino Aranaren Nazionalismoaren Sorrera" »