Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

42) Fórmula de Taylor y MacLaurin para Funciones Multivariables

43) Extremos, Mínimos Relativos y Puntos de Silla

44) Utilizando Mapas de Contorno para Encontrar Extremos y Puntos de Silla

Para utilizar un mapa de contorno (gráfico de las curvas de nivel) para encontrar extremos relativos y puntos de silla de una función z = f(x, y), puedes seguir los siguientes pasos:

1. Observar el Mapa de Contorno

Examina el mapa de contorno de la función para obtener una idea general de cómo se comporta. Observa las líneas de contorno y cómo se curvan o cruzan entre sí.

2. Encontrar los Puntos Críticos

Los puntos críticos son aquellos donde las derivadas parciales de la función con respecto a x e y son cero o no existen. Encuentra estos puntos calculando... Continuar leyendo "Cálculo Multivariable: Extremos, Puntos de Silla y Optimización" »

Rangos y Sistemas de Ecuaciones

El estudio de los rangos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según el Teorema de Rouché-Capelli:

• Sistema Compatible Determinado: Presenta una única solución. Se cumple que: Rg(A) = Rg(A') = nº de incógnitas.
• Sistema Compatible Indeterminado: Presenta infinitas soluciones (se utilizan parámetros para resolverlos). Se cumple que: Rg(A) = Rg(A') < nº de incógnitas.
• Sistema Incompatible: Sin solución. Se cumple que: Rg(A) ≠ Rg(A').

Problemas de Programación Lineal

Para resolver problemas de programación lineal, se deben seguir estos pasos:

1. Sacar incógnitas: Identificar las variables del problema.
2. Sacar función objetivo: Casi siempre está relacionada con el dinero (maximizar beneficios

Funciones lineales e interpolación

Hallar la pendiente

Para calcular la pendiente (m) de una recta que pasa por dos puntos, se utiliza la fórmula: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Ecuación de la recta

Si de una función lineal se conoce un punto y su pendiente, se utiliza la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:

y = m(x - x₀) + y₀

Interpolación lineal

Si x ∈ (x₀, x₁), entonces la función se define como: f(x) = [(y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)] * (x - x₀) + y₀. A este proceso se le llama interpolación lineal.

Si x es exterior al intervalo [x₀, x₁], el proceso se denomina extrapolación.

Funciones cuadráticas e interpolación

Parábola que pasa por tres puntos

Para determinarla, ponemos su ecuación en forma general:... Continuar leyendo "Funciones Matemáticas: Lineales, Cuadráticas e Interpolación" »

Leyes de los Exponentes: Conceptos Fundamentales

Signos en la Potenciación

Cuando una base negativa se eleva a un exponente impar, el resultado siempre será negativo. Si una base negativa entre paréntesis se eleva a un exponente par, el resultado siempre será positivo.

Segunda Ley: Multiplicación de Potencias con la Misma Base

En la multiplicación de potencias con la misma base, esta se conserva y los exponentes se suman. Para identificar una multiplicación, se pueden usar dos o más paréntesis, corchetes o llaves: (), [], {}.

( ) ( )                                          ( ) +( )                                                               

Ley

Herritarra eta Herritartasuna

Herritarra: Antzinako estatuetako biztanlea, eskubide politikoak dituen subjektua, eskubide horiek erabiltzen ditu bere herrialdea gobernatzeko.

• A) Lurralde batean kide izatea.
• B) Hiriak edo estatuak babestu beharreko eskubideak izatea eta parte hartzeko aukera izatea.

Herritarren Eskubideak eta Betebeharrak

• Isonomia: Herritarrak oinarrizko eskubide eta betebehar berak zituzten.
• Isegoria: Herritarrak zuten asanblean hitz egiteko eta haien iritzia emateko eskubidea.
• Koinonia: Guztien ongia lortzeko lankidetza-komunitatea osatzea.

Antzinako Herritartasunaren Mugak

A) Eredu baztertzailea zen, legeetan ezarritako zenbait baldintza betetzen zituzten gizon helduak baino ez ziren herritartzat hartzen.

B) Norberaren komunitate politikoko... Continuar leyendo "Herritartasuna, Estatua eta Bizikidetza: Gakoak eta Erronkak" »

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Vectores y Puntos Alineados

• Vectores Linealmente Dependientes e Independientes: Dos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario, se denominan linealmente independientes.

• Puntos Alineados: Tres o más puntos están alineados si los vectores que se forman entre ellos, por ejemplo, →AB y →BC, son paralelos (es decir, proporcionales).

Posiciones Relativas en el Espacio

Posiciones Relativas entre Rectas

Dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, cortarse en un punto o cruzarse. Para estudiar las posiciones relativas entre dos rectas, r y s, se utilizan los rangos de la matriz de coeficientes (M)... Continuar leyendo "Geometría Analítica Espacial: Conceptos Fundamentales de Vectores, Rectas y Planos" »

Operaciones Fundamentales con Vectores

Cálculo de Ángulos entre Vectores

El coseno del ángulo (θ) entre dos vectores v1=(x1, y1, z1) y v2=(x2, y2, z2) se calcula mediante la fórmula del producto escalar:

cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|)

• Donde v1 · v2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 (producto escalar).
• Y |v| = √(x² + y² + z²) (módulo del vector).

Producto Escalar

Para determinar si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar debe ser cero.

Producto Vectorial

• Para hallar un vector perpendicular a otros dos vectores, se utiliza el producto vectorial.
• El área de un paralelogramo formado por los vectores AB y AC se calcula como el módulo del producto vectorial: Área = |AB x AC|.
• El área de un triángulo formado por los vectores AB y AC

Hominidoen Eboluzioa eta Giza Garapena

Gizakiaren historiaurreko garapena ulertzeko, gure arbasoen eboluzio-prozesua aztertzea ezinbestekoa da. Hainbat hominido-espeziek hartu zuten parte prozesu luze horretan, bakoitzak bere ezaugarri eta ekarpenekin.

Australopithecus

Australopithecus-ak oihanean bizi ziren, duela hiru milioi urtetik milioi bat urtera bitartean. 500 cm³-ko garezur-edukiera zuten (gorilen antzekoa) eta hankabikoak ziren. Garai berekoa zen Homo habilis ere (aztarnak Afrikan aurkitu zituzten), baina kopeta zabalagoa zuen, 700 cm³-ko garezur-edukiera, eta bizimodu desberdina zuen: eremu zabaletan bizitzen hasi zen (belardietan eta sabanetan), familietan antolatuta, eta txabolak nahiz tresnak egiten zituzten.

Homo Erectus

Eboluzio-... Continuar leyendo "Gizakiaren Eboluzioa eta Giza Berezitasunak" »

Ejercicios: Responder V (verdadero) o F (falso) — Matrices y vectores

1) Responder V o F:

• A. Una matriz no singular tiene D = 0. F Una matriz no singular tiene determinante distinto de 0 (D ≠ 0).
• B. El rango de una matriz de dimensión 3×4 puede ser superior a 3. F El rango r ≤ min(número de filas, número de columnas) = 3, por lo que no puede ser mayor que 3.
• C. Una matriz transpuesta tiene distinto determinante. F La matriz transpuesta tiene el mismo determinante que la original: det(A^T) = det(A).
• D. La inversa de la inversa es la matriz original. V Si A es invertible, (A^{-1})^{-1} = A.

2) En una matriz cuadrada de orden 3, la 3ª fila es 2 veces la primera:

• A. Su rango es 3. F Al tener una fila linealmente dependiente de otra, el rango