Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Conceptos Básicos de Relaciones y Funciones

• Relación: Correspondencia que existe entre dos conjuntos; a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Cuando le corresponden dos o más, se considera una relación.
• Función: Relación entre un conjunto x y otro conjunto de elementos y, de forma que a cada x le corresponde un único valor en el codominio.
• Regla de correspondencia: Consiste en asignar un elemento único de un cierto conjunto a cada elemento único de otro conjunto.

Variables y Elementos de una Función

• Variable independiente: Se representa con x.
• Variable dependiente: Es aquella cuyo valor depende del valor numérico que adopta la variable independiente en la función; se representa con

Morala, Zuzenbidea eta Erlijioa

Antzinako aginduak dira, non norbanakoa libre den aukeratzeko eta bere ekintzen ondorioen erantzule den. Hirurek bat egiten dute, baina desberdintasunak dituzte: esparru jakina, tresna propioak eta onura eta kalte desberdinak. Moralaren helburua zoriona eta gizarte justizia dira; zuzenbidearena, ordena publikoa; eta erlijioarena, liburu santuak eta sariaren trukea.

Balio Unibertsalak

Erlatibismo Morala

Bakoitzak bere morala duela dio, eta horrek gauza onartezinak onartzen bukatuko luke.

Eszeptizismoa

Ezinezkoa dela dio, baina ahalegindu behar dela.

Subjektibismoa

Morala eta zientifikoa bereizten ditu: zientzian egia absolutuak esperientzian oinarrituak eta frogagarriak dira; morala, berriz, ez da beharrezkoa frogagarria... Continuar leyendo "Gizarte eta Estatuaren Oinarriak: Morala, Zuzenbidea eta Demokrazia" »

Funciones Lógicas en Excel: SI, Y, O

Las funciones lógicas son herramientas poderosas en Excel que permiten realizar evaluaciones y tomar decisiones basadas en condiciones. A continuación, exploraremos las funciones SI, Y y O, incluyendo cómo anidarlas para crear fórmulas complejas.

Función SI (IF)

La función SI evalúa una condición y devuelve un valor si la condición es verdadera y otro valor si es falsa. Su sintaxis básica es:

=SI(prueba_lógica, valor_si_verdadero, valor_si_falso)

• prueba_lógica: La condición que se evalúa (ej. A2>10).
• valor_si_verdadero: Lo que se devuelve si la prueba lógica es verdadera.
• valor_si_falso: Lo que se devuelve si la prueba lógica es falsa.

Ejemplos de la función SI:

• =SI(A2>10, "SI CUMPLE", "NO

42) Fórmula de Taylor y MacLaurin para Funciones Multivariables

43) Extremos, Mínimos Relativos y Puntos de Silla

44) Utilizando Mapas de Contorno para Encontrar Extremos y Puntos de Silla

Para utilizar un mapa de contorno (gráfico de las curvas de nivel) para encontrar extremos relativos y puntos de silla de una función z = f(x, y), puedes seguir los siguientes pasos:

1. Observar el Mapa de Contorno

Examina el mapa de contorno de la función para obtener una idea general de cómo se comporta. Observa las líneas de contorno y cómo se curvan o cruzan entre sí.

2. Encontrar los Puntos Críticos

Los puntos críticos son aquellos donde las derivadas parciales de la función con respecto a x e y son cero o no existen. Encuentra estos puntos calculando... Continuar leyendo "Cálculo Multivariable: Extremos, Puntos de Silla y Optimización" »

Rangos y Sistemas de Ecuaciones

El estudio de los rangos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según el Teorema de Rouché-Capelli:

• Sistema Compatible Determinado: Presenta una única solución. Se cumple que: Rg(A) = Rg(A') = nº de incógnitas.
• Sistema Compatible Indeterminado: Presenta infinitas soluciones (se utilizan parámetros para resolverlos). Se cumple que: Rg(A) = Rg(A') < nº de incógnitas.
• Sistema Incompatible: Sin solución. Se cumple que: Rg(A) ≠ Rg(A').

Problemas de Programación Lineal

Para resolver problemas de programación lineal, se deben seguir estos pasos:

1. Sacar incógnitas: Identificar las variables del problema.
2. Sacar función objetivo: Casi siempre está relacionada con el dinero (maximizar beneficios

Funciones lineales e interpolación

Hallar la pendiente

Para calcular la pendiente (m) de una recta que pasa por dos puntos, se utiliza la fórmula: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Ecuación de la recta

Si de una función lineal se conoce un punto y su pendiente, se utiliza la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:

y = m(x - x₀) + y₀

Interpolación lineal

Si x ∈ (x₀, x₁), entonces la función se define como: f(x) = [(y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)] * (x - x₀) + y₀. A este proceso se le llama interpolación lineal.

Si x es exterior al intervalo [x₀, x₁], el proceso se denomina extrapolación.

Funciones cuadráticas e interpolación

Parábola que pasa por tres puntos

Para determinarla, ponemos su ecuación en forma general:... Continuar leyendo "Funciones Matemáticas: Lineales, Cuadráticas e Interpolación" »

Leyes de los Exponentes: Conceptos Fundamentales

Signos en la Potenciación

Cuando una base negativa se eleva a un exponente impar, el resultado siempre será negativo. Si una base negativa entre paréntesis se eleva a un exponente par, el resultado siempre será positivo.

Segunda Ley: Multiplicación de Potencias con la Misma Base

En la multiplicación de potencias con la misma base, esta se conserva y los exponentes se suman. Para identificar una multiplicación, se pueden usar dos o más paréntesis, corchetes o llaves: (), [], {}.

( ) ( )                                          ( ) +( )                                                               

Ley

Herritarra eta Herritartasuna

Herritarra: Antzinako estatuetako biztanlea, eskubide politikoak dituen subjektua, eskubide horiek erabiltzen ditu bere herrialdea gobernatzeko.

• A) Lurralde batean kide izatea.
• B) Hiriak edo estatuak babestu beharreko eskubideak izatea eta parte hartzeko aukera izatea.

Herritarren Eskubideak eta Betebeharrak

• Isonomia: Herritarrak oinarrizko eskubide eta betebehar berak zituzten.
• Isegoria: Herritarrak zuten asanblean hitz egiteko eta haien iritzia emateko eskubidea.
• Koinonia: Guztien ongia lortzeko lankidetza-komunitatea osatzea.

Antzinako Herritartasunaren Mugak

A) Eredu baztertzailea zen, legeetan ezarritako zenbait baldintza betetzen zituzten gizon helduak baino ez ziren herritartzat hartzen.

B) Norberaren komunitate politikoko... Continuar leyendo "Herritartasuna, Estatua eta Bizikidetza: Gakoak eta Erronkak" »

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Vectores y Puntos Alineados

• Vectores Linealmente Dependientes e Independientes: Dos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario, se denominan linealmente independientes.

• Puntos Alineados: Tres o más puntos están alineados si los vectores que se forman entre ellos, por ejemplo, →AB y →BC, son paralelos (es decir, proporcionales).

Posiciones Relativas en el Espacio

Posiciones Relativas entre Rectas

Dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, cortarse en un punto o cruzarse. Para estudiar las posiciones relativas entre dos rectas, r y s, se utilizan los rangos de la matriz de coeficientes (M)... Continuar leyendo "Geometría Analítica Espacial: Conceptos Fundamentales de Vectores, Rectas y Planos" »