Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Propiedades de la Función de Probabilidad y Distribución

Función de Probabilidad (para variables discretas):

• f(x_i) está entre 0 y 1.
• La suma de todas las f(x) es igual a 1: Σ f(x) = 1.

Función de Distribución:

• F(X) está entre 0 y 1.
• f(x) es no decreciente.
• f(a) ≤ f(b).
• f(a) = Σ f(a) (y lo mismo para b).

Esperanza y Varianza: Definiciones y Propiedades

Esperanza (E(x)): Media ponderada de los posibles resultados, donde el coeficiente de ponderación de cada resultado es su probabilidad.

E(x) = Σ [f(X) * x]

Propiedad de Linealidad de la Esperanza:

E(ax + b) = aE(x) + b

Demostración:

E(ax + b) = (ax₁ + b) f(x₁) + ... + (ax_n + b) f(x_n)

= ax₁ * f(x₁) + ... + ax_n * f(x_n) + b f(x₁) + ... + b f(x_n)

= a(x₁ * f(x₁) + ... + x_n * f(x_n)) + b(f(x₁) + ... +... Continuar leyendo "Propiedades y Fórmulas Clave de Probabilidad: Variables Aleatorias Discretas y Continuas" »

¿Qué es una esfera?

Una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de todos los puntos del espacio que distan de un punto llamado centro.

Cálculo del volumen de una esfera

La fórmula para calcular el volumen de una esfera es V=4πr²/3.

Para calcular el volumen de una esfera con un perímetro de 80 cm, se sustituyen los valores en la fórmula: V= 4(3.1416) (12.73 cm)³ = 25923.60/3 = 8641.2 cm³.

Se calcula el radio (r) de la esfera utilizando la fórmula d=P/π=80 cm/ 3.1416= 25.46 cm, por lo que r=d/2=12.73 cm.

Cálculo del área de una esfera

Para calcular el área de una esfera con un perímetro de 35 cm, se utiliza la fórmula A=4πr², obteniendo un área de 389.9256 cm².

Cono

Cálculo del área lateral

Operaciones con Monomios y Polinomios

Definición 3.6: Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o dividen sus coeficientes y se suman o restan los exponentes de las partes literales iguales, respectivamente. Se pueden multiplicar o dividir dos monomios que no sean semejantes.

Definición 3.9: Para multiplicar dos polinomios se va multiplicando cada monomio del primer factor por cada uno de los monomios del segundo factor y a continuación se reducen los términos semejantes.

MCD y MCM de Polinomios

MCD y MCM de polinomios: Para calcular el m.c.d y m.c.m de dos o más polinomios se procede de la siguiente manera:

1. Se factorizan ambos polinomios.
2. El m.c.d es igual al producto de todos los factores comunes de los polinomios afectados del

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos). La fórmula es:

h² = a² + b²

Donde:

• h es la hipotenusa
• a y b son los catetos

Ejemplo:

Si a = 4 y b = 3, entonces:

h² = 4² + 3²

h² = 16 + 9

h² = 25

h = √25

h = 5

Razones Trigonométricas

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos agudos. Las principales razones trigonométricas son:

• Seno (sen): cateto opuesto / hipotenusa
• Coseno (cos): cateto adyacente / hipotenusa
• Tangente (tan): cateto opuesto / cateto adyacente
• Cotangente (cot): cateto adyacente / cateto opuesto
• Secante (sec)

Leninengandik stalinengana

Gerra bukatzean, egoera txarra zegoen: laborantza eta industria produkzioa txikitzea hasi zen, hirietan produktuak falta zegoen, inflazioa, gosetea, heriotza-tasaren igotzea, egonezina herritaren eta oposizioaren artean. Egoera hartan, Politika Ekonomiko Berria martxan jarri zuen Leninek. Ekonomia sistema mistoa ezarri zuen:

• Nekazaritza, merkataritza txikia eta enpresa txikiak sektore pribatuan geratu ziren. Gainera, kolektibizazio gelditu, soldatapeko lana ezarri zen eta herentzia eskubidea onartu zen.
• Industria astuna, garraioa, atzerriko merkataritza eta bankuak estatuaren kontrolpean geratu ziren.

PEBari esker, nekazal eta industria ekoizpena handitu, egonkortasun ekonomikoa lortuz, langabezia murriztu eta bizi-maila... Continuar leyendo "Lenin eta Stalin: Politika Ekonomiko Berria" »

HALLAR DOMINIO

POLINOMIOS

Dominio es R (todos los reales).

FRACCIÓN ALEGBRÁICA

Se iguala el denominador a 0 y se resuelve. El dominio será R - {esos valores}.

RAIZ

a) INDICE IMPAR: Dominio = R
b) INDICE PAR: Lo de dentro de la raíz ≥ 0, y resolver como inecuación.

LOGARITMOS

Se hace lo de dentro del logaritmo > 0 y se resuelve.

FUNCIONES EXPONENCIALES

Su dominio es R.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON INVERSA

FUNCIÓN INVERSA

Se cambia la f(x) por y.
Se despeja la x.
Se cambia la “x” por “f⁻¹(x)” y la “y” por “x”.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

FoG(x) = F[g(x)]
GoF(x) = G[F(x)]

TRASLACIÓN Y DILATACIÓN

TRASLACIÓN VERTICAL

· f(x) + a = subo la función “a” cantidades.
· f(x) - a = bajo la función “a” cantidades.

TRASLACIÓN HORIZONTAL

·... Continuar leyendo "Hallar dominio, composición de funciones, traslación y dilatación, límites, indeterminación, continuidad" »

1) Posición Relativa de 2 rectas en el espacio

Matrices A y A*

Paralelas

Secantes

Coincidentes

Se cruzan

Rango A {Ur, Us}

1

2

1

2

Rango A* {Ur,Us,Pr,Ps}

2

2

1

3

2) Dependencia o independencia de vectores

A) Determinante (u, v, w) no es 0 => son linealmente dependientes

B) Determinante (u, v, w) =0 => son Linealmente independientes

3) Posición de 2 rectas como intersección de 2 Planos

r: { Ax+By+Cz+D=0s: { A´´x+B´´y+C´´z+D´´

{ A´x+B´y+C´z+D´=0{ A´´´x+B´´´y+C´´´z+D´´´=0

Esto forma un sistema de 4 ecuaciones Y 3 incógnitas y si tomamos las matrices A y A* , puede ocurrir:

Rango A*=4

SI

SE CRUZAN

Rango A=3

Rango A*=3

SCD

SE CORTAN EN UN PUNTO

Rango A=2

Rango A*=3

SI

PARALELAS

Rango A=2

Rango A*=2

SCD

COINCIDENTES

4) Posición Relativa Recta y Plano

Una... Continuar leyendo "Posiciones Relativas de Rectas y Planos en el Espacio 3D" »

Evolució i Variació Social del Català

Probabilidad

La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. A continuación, se presentan algunas de sus fórmulas fundamentales:

Probabilidad Condicionada

Se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento B, sabiendo que ya ha ocurrido un evento A. Se expresa como:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Teorema de Bayes

Permite calcular la probabilidad de un evento A, dado que ha ocurrido un evento B, utilizando información previa. Se expresa como:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Probabilidad Total

Se utiliza para calcular la probabilidad de un evento R que puede ocurrir a través de diferentes caminos o eventos mutuamente excluyentes (A, B, C). Se expresa como:

P(R) = P(A) · P(R|A) + P(B) · P(R|B) + P(C) · P(R|C)

Ecuaciones