Conceptos Esenciales de Matemáticas: Álgebra, Cálculo y Probabilidad

Rangos y Sistemas de Ecuaciones

El estudio de los rangos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según el Teorema de Rouché-Capelli:

• Sistema Compatible Determinado: Presenta una única solución. Se cumple que: Rg(A) = Rg(A') = nº de incógnitas.
• Sistema Compatible Indeterminado: Presenta infinitas soluciones (se utilizan parámetros para resolverlos). Se cumple que: Rg(A) = Rg(A') < nº de incógnitas.
• Sistema Incompatible: Sin solución. Se cumple que: Rg(A) ≠ Rg(A').

Problemas de Programación Lineal

Para resolver problemas de programación lineal, se deben seguir estos pasos:

1. Sacar incógnitas: Identificar las variables del problema.
2. Sacar función objetivo: Casi siempre está relacionada con el dinero (maximizar beneficios o minimizar costes).
3. Restricciones: Son inecuaciones (por ejemplo, x + 2y ≤ total). Es fundamental "juntar algodón con algodón" (agrupar términos semejantes). Siempre existen dos restricciones implícitas: x ≥ 0 e y ≥ 0.
4. Dibujar y sacar los vértices: Representación gráfica de la región factible.
5. Hallar el área: Determinar la región mediante los sistemas de ecuaciones.
6. Sustituir en la función: Evaluar los vértices para saber si el resultado es un máximo o un mínimo.

Optimización

El proceso de optimización se resume en los siguientes puntos:

1. Se plantea la función a Maximizar o Minimizar.
2. Se plantea la ecuación que relaciona las variables.
3. Se despeja una variable y se sustituye en la función original.
4. Se deriva la función.
5. Se iguala la derivada a 0 para hallar los puntos críticos.

Límites e Indeterminaciones

Principales métodos para resolver indeterminaciones:

• Infinito menos infinito (∞ - ∞): Se realiza el conjugado. En el denominador prevalecen los términos de mayor grado.
• 1 elevado a infinito (1^∞): Indeterminación que se resuelve mediante el número e.
• Infinito por cero (∞ · 0): Se transforma a la forma ∞ / ∞ o 0 / 0 para aplicar la Regla de L'Hôpital.
• Tipo cero elevado a cero (0^0): Se aplica logaritmo natural (Ln y = Ln f(x)), luego se transforma a lim(Ln) = lim(función derivada), se pasa a ∞ / ∞ y se aplica L'Hôpital. Al final, se despeja y = e^0 = 1.
• Infinito elevado a cero (∞^0): Primero se pasa a límites, se aplica Ln, se deriva y se aplica L'Hôpital tras transformar la expresión.

Asíntotas Oblicuas

Si existe una asíntota horizontal, no hay oblicua. Se calculan como:

• m = lim (x → ∞) [f(x) / x]
• n = lim (x → ∞) [f(x) - m · x]

Continuidad y Derivabilidad

Se analiza primero la continuidad. Si en ciertos puntos la función no es continua, automáticamente no es derivable. Es importante recordar que una función puede ser continua pero no derivable.

Gráfica de Funciones

Dominio

• Radicales: El contenido de la raíz debe ser ≥ 0.
• Polinomios: Su dominio es todo R.
• Logarítmicas: El argumento debe ser > 0.
• Racionales: Se iguala el denominador a 0 (ejemplo: Dom f(x) = R - {2}).
• Exponenciales: Su dominio es todo R.

Análisis Gráfico

• Simetría: Se evalúa f(-x). Si f(-x) = f(x) es par; si f(-x) = -f(x) es impar.
• Puntos de corte con los ejes: Se calculan haciendo x = 0 e y = 0.
• Signo de la función: Se iguala la función a 0, se hallan los puntos y se estudia el signo en los intervalos para determinar si la gráfica está por encima o por debajo del eje X.
• Asíntotas:
  • Vertical: x tiende a un número y el resultado es ∞.
  • Horizontal: x tiende a ∞ y el resultado es un número.
  • Oblicua: Definida por m y n como se explicó anteriormente.
• Monotonía (Máximos y Mínimos):
  1. Derivada primera.
  2. Igualar a 0.
  3. Obtener puntos críticos.
  4. Estudiar el signo para determinar crecimiento y decrecimiento.
• Curvatura (Cóncava o Convexa):
  1. Segunda derivada.
  2. Igualar a 0.
  3. Estudiar el signo en la recta real.
  4. Determinar intervalos de concavidad (U) y convexidad (n). Los cambios de curvatura son los puntos de inflexión.

Recta Tangente

• Pendiente (m): Se obtiene derivando la función y sustituyendo el punto x en la derivada.
• Fórmula: y - y₀ = m(x - x₀).
• y₀: Se calcula sustituyendo el punto x en la función original.

Derivadas e Integrales Básicas

• Derivada de sen(x) = cos(x); Derivada de cos(x) = -sen(x).
• Integral de cos(x) = sen(x); Integral de sen(x) = -cos(x).

Probabilidad

Fórmulas fundamentales:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• P(A') = 1 - P(A)
• Regla de Laplace: Número de casos favorables entre número de casos posibles.
• Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Función de Distribución

• Media (μ): Σ (Xi · Pi)
• Varianza (σ²): Σ (Xi² · Pi) - μ²
• Desviación típica (σ): Raíz cuadrada de la varianza.

Distribución Binomial B(n, p)

• n: Número de pruebas.
• p: Probabilidad de éxito.
• k: Número de éxitos deseados.
• q: Probabilidad de fracaso (1 - p).
• Fórmula: P(x = k) = (n sobre k) · p^k · q^(n-k). El número combinatorio se calcula como: n! / [k! · (n - k)!].
• Media: n · p
• Varianza (σ²): n · p · q
• Desviación típica (σ): √(n · p · q)