Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

1. La derivada de una constante es 0                               

1. La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad. 
   
   
2. La derivada de la suma algebraica de un número finito “n” de funciones es igual a la suma algebraica de la derivada de las funciones.
   
    
   
   
3. La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
   
   
4. La derivada de un producto de 2 funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda mas el producto de la segunda función por la derivada de la primera.
   
    
   
5. La derivada de la potencia de una función de un exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada

Lecer Medieval: Espectáculo Trobadoresco

A lírica medieval naceu como unha forma cantada, como un espectáculo que se desenvolvía durante as veladas celebradas nos pazos dos reis e grandes señores. A guerra era o verdadeiro "oficio" da aristocracia. A caza, a celebración de xustas e torneos foron ocupacións fundamentais para as horas de lecer, pero debido a que non sempre se podían facer estas cousas polo tempo, buscaron outros divertimentos que puidesen realizarse nos seus pazos e castelos. O mundo trobadoresco nace na celebración de festas e reunións durante as cales se cantaba e danzaba. Era unha lírica culta, propia dos ambientes aristócratas, polo tanto era unha lírica culta.

Cancioneiros: Transmisión do Lirismo Medieval

Coñecemos... Continuar leyendo "Lírica Medieval: Cancioneiros e Contexto Histórico" »

Gobernu Motak eta Printzipio Juridikoak

Herritarrek Aukeratutako Gobernua

Herritarrek aukeratutako gobernua dela esan nahi du, eta herritar horiek beste herritar batzuk aukeratzen dituzte beren ordezkari izateko. Biztanleria, beraz, bi mailatan banatzen da: gobernatzaileak, guztion onerako ari daitezen, eta gobernatuak edo herri xehea; bizitza pribatuari eusten dion jendea, agintearen zerbitzuak jasotzeaz gain, ezarritako kargak jasan behar dituena.

Berdintasun eta Desberdintasun Printzipioak

Berdintasun printzipioa: Legearen aurrean denok gara berdinak. Denok ditugu eskubide eta betebehar berberak.

Desberdintasun printzipioa: Legea denontzat berdina den arren, kasu batzuetan, egoera aintzat hartu eta eskubide bereziak aitortzen dizkie herritar... Continuar leyendo "Gobernu Motak eta Printzipio Juridikoak: Demokrazia, Monarkia eta Errepublika" »

1. Bizitzaren Hasiera eta Lehen Hominidoak

Sistema Sexagesimal

Conversión de grados, minutos y segundos.

Conversión de Complejos a Incomplejos (Grados a Minutos/Segundos)

• Minutos (x'): Multiplicar los grados (#°) por 60. Fórmula: x' = #° * (60') / 1°
• Segundos (x"): Multiplicar los minutos (#') por 60. Fórmula: x" = #' * (60") / 1'

Conversión de Incomplejos a Complejos (Segundos/Minutos a Grados)

• Minutos desde Segundos (x'): Dividir los segundos (#") entre 60. Fórmula: x' = #" * (1') / 60"
• Grados desde Minutos (x°): Dividir los minutos (#') entre 60. Fórmula: x° = #' * (1°) / 60'

Sistema Circular

Relación entre grados sexagesimales y radianes.

• Grados a Radianes: Multiplicar los grados (#°) por π y dividir entre 180°. Fórmula: Radianes = #° * (π rad) / 180°
• Radianes a Grados:

Defina los conceptos de ángulo de dos vectores no nulos y de vectores ortogonales en R^n

Definición

Dado dos vectores no nulos x,y€R^n se define eñ ángulo formado por x e y como el único numero Φ€[0,Pi tal que el cosΦ=(x|y)/||x|| ||y||

Se dice que dos vectores x,y€Rⁿ son ortogonales si (x|y)=0. Si A wa un subconjunto no vacío de Rⁿ se llama complemento ortogonal de A al conjunto

A™ = { x€Rⁿ  (x|a) =0 √a€A}

Si x,y€Rⁿ son vectores no nulos, se llama proyección ortogona de x sobre y al vector ηy(x)=((x|y/(y|y) y

Defina los conjuntos bola abierta, bola cerrada y esfera en R^n. (con una norma arbitraria ||.||)

Sea ||.|| una norma arbitraria en R^n. Sean a€R^n y r€R^+. La bola abierta en R^n de centro a y de radio r es el... Continuar leyendo "Ángulos entre Vectores, Conjuntos Abiertos y Cerrados en R^n" »

Conceptos Fundamentales de Convexidad y Cálculo Diferencial

Conjuntos Convexos

• Un conjunto definido por una restricción lineal de igualdad (=) es convexo (hiperplano).
  Ejemplo: S = {(X,Y) | 2X - 3Y = 4}
• Un conjunto definido por una restricción lineal de desigualdad (< o >) es convexo (semiespacio).
• El conjunto de puntos donde una función estrictamente convexa es mayor que una constante ({x | f(x) > c}) es convexo.
• El conjunto de puntos donde una función estrictamente cóncava es menor que una constante ({x | f(x) < c}) es convexo.
• La intersección de conjuntos convexos es convexa.

Funciones y Convexidad

• Una función f(x) es convexa si su matriz Hessiana (Hf) es semidefinida positiva (SDP).
• Una función f(x) es cóncava si su matriz

Continuidad de una Función

-Función continua: Una función f es continua en un punto x=a de su dominio si lim f(x) (cuando x tiende a a) = f(a). Esto implica que existe el límite de la función en el punto x=a, f está definida en x=a, existe f(a), y ambos valores son iguales.

Tipos de Discontinuidad

1. Discontinuidad evitable: Existe el límite pero no coincide con f(a). lim f(x) (cuando x tiende a a) ≠ f(a)
2. Discontinuidad de 1ª especie o de salto: Existen los límites laterales pero no son iguales. L1 = lim f(x) (cuando x tiende a a +) ≠ lim f(x) (cuando x tiende a a -) = L2.
3. Discontinuidad de 2ª especie: Cuando alguno (o ambos) de los límites laterales no existen.

Asíntotas

AH: lim f(x) (cuando x tiende a +-inf) = nº.

AV: lim f(x) (cuando... Continuar leyendo "Continuidad, Derivadas y Matrices: Conceptos Clave en Matemáticas" »

Conceptos Clave de Geometría Analítica

La Recta

Pendiente (m): La pendiente de una recta se relaciona con el ángulo de inclinación (θ) respecto al eje x positivo.

m = tgθ

Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad

• Para que dos rectas sean paralelas:

  m₁ = m₂

• Para que dos rectas sean perpendiculares:

  m₁ * m₂ = -1

  

Comprobaciones Geométricas mediante Pendientes

• Comprobación de triángulo rectángulo: Dos pendientes de los lados deben ser recíprocas y de signo contrario (es decir, su producto debe ser -1).

  Ejemplo: y

• Comprobación de un paralelogramo: Se calculan las 4 pendientes de los lados. Si los lados opuestos tienen pendientes iguales, es un paralelogramo.

  Ejemplo: m₁ = m₄ y m₃ = m₂

Ángulo entre Dos Rectas

La tangente del... Continuar leyendo "Fórmulas Esenciales de Rectas, Circunferencias y Parábolas" »

Continuidad

\(f(x) = x^2\)

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable \(x\) implica sólo un pequeño cambio en el valor de \(f(x)\), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

\(f(x) = \text{sgn} \, x\)

En contraste, una gráfica como la de la función \(f(x) = \text{sgn} \, x\) (signo de \(x\)) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abscisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función \(f(x)\) para un valor \(a\) significa que \(f(x)\) difiere arbitrariamente poco del valor \(f(a)\) cuando \(x\) está suficientemente cerca de \(a\).

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición

Continuidad

Una función \(f(x)\) es continua en un punto... Continuar leyendo "Funciones Continuas y Discontinuas: Definiciones y Ejemplos" »