Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Escenario: Selección de Muestra en un Liceo

En un liceo estudian 350 alumnos de ciclo básico y 150 de bachillerato. Se desea seleccionar una muestra de 50 alumnos. A continuación, se explica cómo hacerlo utilizando diferentes técnicas de muestreo:

Datos del Problema:

• Población total: 350 (ciclo básico) + 150 (bachillerato) = 500 alumnos
• Tamaño de la muestra deseada: 50 alumnos

Métodos de Selección de Muestra:

a) Muestreo Aleatorio Simple

Se eligen 50 estudiantes al azar del total de 500 alumnos. Cada estudiante tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Se debe asegurar que un estudiante seleccionado no pueda ser elegido nuevamente (muestreo sin reemplazo).

b) Muestreo Aleatorio Sistemático

1. Calcular el intervalo de muestreo (k): k =

Estratificació Social: Definició

Estratificació Social. Definició. Procés en virtut del qual una societat determinada queda dividida en estrats o agregats, cadascun dels quals entranya un grau distint de prestigi, propietat i de poder.

D'aquesta definició se'n desprèn que:

Els individus d'un mateix estrat manifesten conductes de compra homogènies. Es produeixen comparacions de superioritat/inferioritat i, per tant, la compra o la realització d'activitats d'alguna de les classes és senyal del desig d'ascensió dins de la jerarquia social.

Característiques:

1) És una forma característica d'estratificació d'aquelles societats modernes on s'hi ha desenvolupat una clara divisió del treball. 2) El concepte de classe social identifica a... Continuar leyendo "Estratificació Social: Definició, Característiques i Components" »

Hominizazioa

Hominizazioa — Giza modernoaren ezaugarriak eboluzio-prozesu luze baten ondorio dira. Prozesu hau Ekialdeko Afrikako klima-aldaketarekin lotuta dago. Bizirik irautea lortu zuten primateek ingurune lehor eta bero batean eboluzionatu zuten. Bipedismoari esker, dibertsifikazio azkarra lortu zuten.

Bipedismoa

Bipedismoa — Zutik ibiltzeko gaitasuna da, eskuak lurrean jarri gabe. Horrek egiturazko aldaketa batzuk ekarri zituen, nagusiki hezurdurari eta muskulaturari. Zutikako jarrera: Bi hanketan ibiltzeko aldaketek eskeletoa eraldatu zuten.

Bipedismoaren abantailak

• Eguzki-erradiazio gutxiago iristen zaio zutik dagoen gorputzari.
• Haizeak gorputzaren azalera handiagoa ukitzen du eta freskagarriagoa bihurtzen du.
• Zenbat eta gorago egon, orduan

Marginal = derivar

I = P x Q

U = I - C

1)

Cada valor lo reemplazo en la función principal y me darán 3 resultados. Por ejemplo en el 1ero me dará 0. Mas el 0 del x1 el punto seria P(0,0) el 2do me dio -32

tonces seria Q(2,-32) y el tercero -5 ,, seria R(-1,-5)

Después derivo por segunda vez.. Me qedaria :

36x² - 24x - 24 ... Reemplazo nuevamente los mismos valores q reemplaze antes .. Y dependiendo lo q me de cada uno sabre si es mínimo o máximo.. Si es menos q 0 es máximo y viceversa-

Luego grafico con los puntos dobles ..Estos (0.0) .....

luego cn la función q derive 2 veces la igualo a 0 y aplico formula general .. Y tendré el EQILIBRIO.

1)Una revista de sociología afirma que: si ahora se iniciase un programa especifico de servicios de... Continuar leyendo "Aplicación del Cálculo Diferencial en Economía: Utilidad, Costo e Ingreso Máximo" »

Análisis Factorial

Charles Spearman (1904), Thurstone (1935), Sociedad de Psicometría (1936)

El análisis factorial es una técnica estadística multivariada que se incorpora a la metodología cuantitativa y que involucra variables latentes.

Las variables no observables, o variables latentes, no pueden medirse directamente; estas se estiman a través de variables manifiestas.

Ejemplos de Variables Latentes:

• Inteligencia
• Nivel de ansiedad
• Nivel socioeconómico
• Grado de satisfacción

Variables Manifiestas:

• Respuesta del examen
• Aciertos en el examen
• Intensidad de lanzamiento
• Número de computadoras en una vivienda

Objetivo del Análisis Factorial:

Estudiar la estructura de correlación entre un grupo de variables de medidas, asumiendo que dicha relación puede... Continuar leyendo "Introducción al Análisis Factorial y la Teoría de Conjuntos" »

Tipos de Funciones

f(x) = [x] (b) es una función valor absoluto

f(x) = √x (i) es una función radical

f(x) = 1/x (a) es una función racional

f(x) = x² (c) es una función cuadrática

Dominio de una Función

La función f(x) = √(x-3) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≥ 3 }

La función f(x) = (x-2)/(x-9) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≠ 9 }

Propiedades de Funciones

• La gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0).
• El recorrido de la función exponencial f(x) = a^x es el intervalo (0, ∞).
• El recorrido de la función seno es el intervalo [-1, 1].
• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejercicios de Logaritmos

El log_b(1/49) = -2, ¿cuál es el valor de b? C. 7

El log₅625 = x,... Continuar leyendo "Fundamentos de Matemáticas: Explorando Funciones, Logaritmos y Cónicas" »

Factorización de un monomio a partir de un polinomio

Factorización de un monomio a partir de un polinomio:

1. Determina el MCD (Máximo Común Divisor) de todos los términos del polinomio.

• Calcular el MCD de los coeficientes de cada término.
• Tomar las variables comunes de cada término.
• De estas variables, escoger las elevadas al menor exponente común a todos los términos.
• Multiplicar el MCD de los coeficientes por las variables elevadas al menor exponente.

2. Escribir cada término como el producto del MCD y otros factores.
3. Utilizar la propiedad distributiva para factorizar el MCD.

Factorización por agrupamiento (polinomio de cuatro términos)

Factorizar un polinomio de cuatro términos por medio de agrupamiento:

1. Determina si existe algún factor común

Representación de una Función

Para representar gráficamente una función, se deben seguir los siguientes pasos:

• 1) Dominio: Determinar el conjunto de valores para los cuales la función existe.
• 2) Puntos de corte:
  • Con el eje Y (x=0).
  • Con el eje X (y=0).
  Con los números obtenidos, establecemos los puntos (x, 0) y (0, y).
• 3) Asíntotas:
  • Asíntota Vertical (AV): Se calcula el límite cuando x tiende al punto de discontinuidad. Si el resultado es infinito, se calculan los límites por la izquierda y por la derecha, observando los signos del infinito.
  • Asíntota Horizontal (AH): Se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito.
• 4) Crecimiento y decrecimiento: Se realiza la primera derivada de la función y se iguala a 0.
  • Si f'(x) > 0,

Enunciado

Sea la función f definida por tramos:

• f(x) = -x + 4, si x < 2
• f(x) = 4/x, si 2 ≤ x < 4
• f(x) = x² - 4x + 1, si x ≥ 4

Estudio de la continuidad

Las tres expresiones que definen f son continuas en los intervalos indicados: la función -x + 4 es continua y derivable en R, en particular en (-∞, 2); la función 4/x es continua y derivable en R \ {0}, en particular en (2, 4); y la función x² - 4x + 1 es polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (4, +∞).

Continuidad en x = 2

Falta estudiar la continuidad en x = 2 y en x = 4. f es continua en x = 2 si

f(2) = lim de x → 2 por la izquierda de f(x) = lim de x → 2 por la derecha de f(x).

Calculamos:

• f(2) = 4/2 = 2
• lim de x → 2 por la izquierda de f(x) =