Fundamentos de Cálculo: Límites, Derivadas e Integrales

Conceptos Básicos de Operaciones

• 3/0 = ∞
• 3/∞ = 0
• 0/3 = 0
• ∞/3 = ∞
• e⁰ = 1
• ln(1) = 0
• d(1/x)

Resolución de Indeterminaciones

• 0/0: Factor común, descomposición, Ruffini, Cardano o identidades notables.
• ∞ - ∞: Con raíces (multiplicar y dividir por el conjugado); sin raíces (MCM).
• ∞/∞: Dividir entre la mayor potencia de x.

Identidades Notables

• (a + b)² = a² + b² + 2ab
• (a - b)² = a² + b² - 2ab
• a² - b² = (a + b)(a - b)

Cálculo Diferencial

Derivadas

• Suma: y = 3x³ - 2x² → y' = 9x² - 4x
• Multiplicación: (derivada del 1º × 2º sin derivar) + (derivada del 2º × 1º sin derivar).
• División: (derivada del 1º × 2º sin derivar - derivada del 2º × 1º sin derivar) / (denominador al cuadrado).

Recta Tangente

Fórmula: y = f(a) + f'(a)(x - a)

Para el punto de abscisa (ejemplo x = a), se calcula f'(a) derivando la función y sustituyendo el valor.

Cálculo Integral

• Ejemplo 1: ∫(x² - 2)dx = [x³/3 - 2x] entre (3,1) = Integral mayor(3) - Integral menor(1).
• Ejemplo 2: ∫(4x³ - 3x² - 2x)dx = [x⁴ - x³ - x²] entre (3,2) = Integral mayor(3) - Integral menor(2).

Estudio de Funciones

Continuidad y Derivabilidad

• Continuidad: 1º Calcular límites laterales en los puntos de ruptura. 2º Determinar en qué puntos la función es continua.
• Derivabilidad: 1º Derivar la función por tramos. 2º Sustituir el punto en cada derivada; deben dar el mismo resultado.

Asíntotas

• Verticales: Igualar el denominador a 0. Hallar límites laterales; debe dar ±∞.
• Horizontales: Límites cuando x → ∞. Si el grado del numerador es mayor, el resultado es infinito (no hay). Si el grado del denominador es mayor, el resultado es 0 (asíntota en y = 0).
• Oblicuas: y = mx + n
  • m = lím (x → ∞) [f(x) / x]
  • n = lím (x → ∞) [f(x) - mx]

Crecimiento, Decrecimiento, Máximos y Mínimos

1. En un punto concreto: Derivar la función, sustituir el valor de x en la derivada y evaluar el signo.
2. En general:
   • Calcular el dominio (denominador = 0).
   • Igualar la derivada a 0 para hallar puntos críticos.
   • Realizar una tabla de signos sustituyendo en la derivada.