Matematikaren Oinarriak: Logizismoa, Intuizionismoa eta Formalismoa

Matematikaren oinarriak

Matematika purua matematika puru guztia kontzeptu puruekin funtzionatzen du, gutxi batzuengatik definigarriak direnak. Proposizio guztiak definigarriak dira oinarrizko axioma batzuen bidez. Kontzeptu matematiko oro definigaitzak diren kontzeptuetan oinarritzen da. Hauek termino logikoetan definituko dira, definitua geratu gabe.

Matematika purua Russellentzat P eta Q inplikatzen dituen formako proposizioen multzoa da. Proposizioak bi proposizioetan aldagaiek dituzten funtzioak dira, ez P-k ez Q-k ez dute inongo konstanterik, konstante logikoak izan ezik.

Konstante logikoak

Konstante logikoak termino baten klase batekiko erlazioan oinarrizko terminotan definitu daitezkeen nozioak dira. Existitzen da bezalako arrazoiketa bat aplikatzen denean, propietateetan orokortasun zentzu bat ematen da; partikulartasuna ez da bilatzen, orokortasuna baizik. Matematika purua ez da objektu puruei buruz, logika sinbolikoa baizik.

Tipen teoria

Fregeren konprehentsio axiomak ematen duen paradoxa, Russellek tipen teorira eramaten du. Analisi honek klaseak gauzak ez direla pentsatzera garamatza. Gauza baino klase gehiago daude, eta klase bat ezin da gauza bat izan. Ondorioztatzen da klasiak hizkuntzan egokitasunak direla; funtzio proposizionala soilik adierazpen bat da, ez du ezer baieztatzen ez ezeztatzen. Klase bat soilik adierazpen bat da. Aldagaien balioaz hitz egiteko modu egokia da funtzioa egia izan dadin.

Intuizionismoa

Intuizionismoak bi bertsio ditu:

1. Poincaré eta Russellen logizismoaren kontra

Poincaré-k Russellen logizismoaren kontra egiten du, hau paradoxak soilik jakiteko balio duelakoan. Ez du infinituaren inguruko eztabaida onartzen; konprehentsio axiomaren desagertzearekin batera, aukeraren axioma eta infinituarena agertzen dira. Gödelek demostratzen du aukeraketaren axioma teoriarekiko independentea dela. Bestalde, bere ustez, eta paradoxetan oinarriturik, indukzio matematikoa sintetikoa a priori da, ez da logikara erreduzigarria, analitikoa dena.

Nicolas Bourbaki taldea

Matematikari frantses talde batek matematikaren oinarriak berrikusi zituen. Logikoek logika egin dute, ez matematika. Logika matematikatik independizatzea proposatzen dute.

Kronenberg

Kronenbergen ustez, Jainkoak zenbaki osoak sortu zituen; besteak gizakiak eraikiak dira.

2. Brouwer

Brouwerrentzat matematikaren oinarrien jatorria gogamenean dago; hortik kanpo ez dago existitzen dena. Zenbaki osoak intuitiboki ikasten dira: 1, 2... Gogamenak sortzen du matematika eta indukzio matematikoa. Matematika alinguistikoa da. Hizkuntzaren eta matematikaren arteko bereizketa egiten da.