Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Dominio de Funciones

Dominio de Funciones Racionales

Para F(x) = (x² + 1) / (x² + 5x + 6), el denominador no puede ser cero.

x² + 5x + 6 = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

Esto implica x + 3 = 0 o x + 2 = 0

x = -3, x = -2

Dominio F(x) = ℝ - {-3, -2}

Dominio de Funciones con Raíz Cuadrada

Para F(x) = √(2x - 3), el radicando debe ser mayor o igual a cero.

2x - 3 ≥ 0

2x ≥ 3

x ≥ 3/2

Dominio F(x) = {x ∈ ℝ | x ≥ 3/2} o Dominio F(x) = [3/2, +∞)

Nota: Si la raíz es de índice impar (ej. raíz cúbica), el radicando puede ser cualquier número real.

Recorrido de una Función

Para encontrar el recorrido, sigue los siguientes pasos:

1. A) Cambiar F(x) por Y.
2. B) Despejar X en términos de Y.
3. C) Analizar los valores que puede tomar Y.

Ejemplos de Recorrido

Ejemplo 1:

El Modelo Lineal de Regresión Múltiple

El modelo lineal uniecuacional múltiple estudia la relación lineal entre una variable dependiente Y y más de una variable independiente X_i, sumado a un término aleatorio.

El objetivo principal es estimar las cantidades constantes presentes en el modelo, así como evaluar la bondad de la estimación realizada.

Supuestos del Modelo

La perturbación aleatoria está centrada, es homocedástica e incorrelada. Asimismo, no existe relación entre las variables independientes y la perturbación aleatoria.

Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

La expresión fundamental es: Y = f(x) = β₁ + β₂X_t + U_t, donde el residuo se define como e_t = Y_t - Ŷ_t.

Los errores o residuos representan la diferencia entre los valores... Continuar leyendo "Fundamentos del Modelo Lineal de Regresión Múltiple y Mínimos Cuadrados Ordinarios" »

Conceptos Fundamentales en Estadística

Varianza y Desviación Típica

• Varianza ($\sigma^2$): Es la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable aleatoria y su media poblacional, $E[(X-\mu)^2]$.
• Desviación Típica ($\sigma$): Es la raíz cuadrada de la varianza.
• Varianza Muestral ($s^2$): Se calcula como $\frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$.
• Cuasivarianza Muestral (Varianza Muestral Corregida, $\hat{s}^2$): Es un estimador insesgado de la varianza poblacional, calculado como $\frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2$.

Conceptos de Probabilidad

• Probabilidad de un Evento A ($P(A)$): Se define como el número de casos favorables a A dividido por el número total de casos posibles.

Modelos de Distribución de Probabilidad

Modelos Discretos

• Bernoulli:

Teorema 11

Sea A ∈ M_n×n(ℝ) simétrica.

1. A es definida positiva si y solo si todos los valores propios son positivos.

Demostración: (⇒)

Sabemos que, por ser A una matriz real simétrica, tiene n valores propios. Supongamos que α es un valor propio de A y v ≠ 0 es un vector propio de A asociado a α. Por tanto, Av = αv.

Por ser A definida positiva, se tiene que x^TAx = (x|Ax) > 0, para cualquier x ≠ 0 de ℝⁿ. En particular, si tomamos el vector propio v, se obtiene:

0 TAv = (v|Av) = (v|αv) = α(v|v) = α||v||²

Como ||v||² > 0, se deduce que α > 0.

Demostración: (⇐)

Como A es una matriz real simétrica, A es diagonalizable con respecto a una base ortonormal 𝒜 de ℝⁿ formada por vectores propios de A. Así, si ℬ es la... Continuar leyendo "Propiedades Clave de Matrices: Definición Positiva y Forma de Jordan" »

CLUSTER

(objetivo)
Técnica de segmentació,proceso por el cual identificamos grupos de consumidores en función de unas determinadas características,con el objetivo de buscar para cada uno,una oferta diferenciada.Se busca: HOMOGENEIDAD INTERNA:Max las diferenc entre grupos. HETEROGENEIDAD INTERGRUPOS:Max las dif entre grupos.Conclusiones??Dcir lo de los grupos/nombre y lo del p-valor>0.05 acepta Ho->No hay dif entre grupos.¿Útil?
Si exist dif si; ¿q hacer acontinuac?->La caracterización sociodemográfica.

Ho de partida

Ho:Independientes o ? Asoc x e y; H1:Asoc x e y; 

Conclusión

->(Hacer tabla frec2;Ee= (Vo-Ve)²/Ve +..Compararle con el Chi-² y rech o acep Ho

Asociación: 1. Coef. PHI=?(Eexp/n); Coef.Contingencia=?(Eexp/Eexp+n)... Continuar leyendo "Técnicas Estadísticas Fundamentales para Investigación y Datos" »

1. Los métodos que permiten resolver estudios donde el conjunto de datos es el Colectivo total, constituyen el contenido y objetivo de una parte de la Estadística que se Conoce como Estadística Descriptiva.
 Por población, universo o colectivo se entiende el conjunto de elementos, Individuos o entes, definidos sin ambigüedad, del que se pretende estudiar una serie de carácterísticas o comportamientos. En Estadística el término individuo o caso puede Referirse a cosas tan diversas como personas, provincias, empresas, edificios, etc. Una Vez delimitada con toda precisión cuál es la población objeto de estudio, quiénes son Los individuos o casos que la forman, deberemos indicar cuáles son los caracteres, Denominadas variables, que... Continuar leyendo "Escala discreta" »

La Composicionalitat

Hipòtesi semàntica fonamental:

Principis

• 1. El significat de les composicions complexes sorgeix a partir de les parts i de les seves relacions de dependència.
• 2. El significat de les llengües és composicional: sorgeix a partir de la combinació de les unitats.
• 3. El significat no és una simple suma de significats, sinó una combinació jerarquitzada (Ex: L'home estima la dona vs. La dona estima l'home).

La composicionalitat és productiva (permet crear significats nous sense pèrdua de comprensió) i sistemàtica (sabem com construir significats a partir de les dependències).

Principi de composicionalitat: El significat d'una forma gramatical complexa és una funció compositiva del significat dels seus components semàntics,... Continuar leyendo "Principis de Semàntica: Composicionalitat, Sentit i Eventivitat" »

Esperanza, Rentabilidad y Riesgo

Para una cartera con pesos x₁=0,7 y x₂=0,3, la rentabilidad esperada se calcula mediante la fórmula: E(R) = x₁·e₁ + x₂·e₂.

El riesgo se determina mediante la varianza: σ² = (σ₁² · x₁²) + (σ₂² · x₂²) + (2 · x₁ · x₂ · Cov_1,2).

Contribución al Riesgo de Cartera

• Contribución título 1: x₁ · σ₁
• Contribución título 2: x₂ · σ₂

Opciones Financieras: Call y Put

Comprador de Call (Derecho de compra)

Beneficio (B) = [Cotización acción (S) - Prima] - Precio del ejercicio.

Vendedor de Call

Tiene la obligación de vender. Si el comprador no ejerce, el beneficio es igual a la prima.

Comprador de Put (Derecho de venta)

Beneficio (B) = [Precio del ejercicio - Prima] - Cotización (S).

Vendedor de Put

Tiene la obligación

Fundamentos de Álgebra

Expresión Algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras conectados por signos de operaciones aritméticas.

Monomio

Un monomio es la expresión más simple y está formada por productos entre letras y números. Los números se denominan coeficientes y las letras se denominan parte literal.

Características de un Monomio

1. El factor 1 no se coloca; se sobreentiende su existencia y solo se usa para sumar o restar coeficientes o exponentes.
2. El signo de multiplicación entre el coeficiente y la parte literal no se utiliza.
3. El exponente de la parte literal no se coloca cuando es igual a 1; se utiliza para determinar el grado del monomio.

Grado del Monomio

El grado del monomio es el número que resulta de la... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Álgebra: Monomios, Polinomios y Ecuaciones" »