Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Problemas de Probabilidad

Problema 1: Probabilidad de Elementos Defectuosos

Una máquina A produce la mitad de la producción, y una máquina B produce la tercera parte. Las averías de las máquinas (elementos defectuosos) son 5%, 8% y 10% respectivamente. Hay una máquina C.

Datos:

• Máquina A: P(A) = 1/2, P(Defectuoso | A) = 5% = 0.05
• Máquina B: P(B) = 1/3, P(Defectuoso | B) = 8% = 0.08
• Máquina C: P(C) = 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6, P(Defectuoso | C) = 10% = 0.10

1. Si se toma un elemento al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté averiado?

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(Defectuoso) = P(Defectuoso | A) * P(A) + P(Defectuoso | B) * P(B) + P(Defectuoso | C) * P(C)

P(Defectuoso) = (0.05 * 1/2) + (0.08 * 1/3) + (0.10 * 1/6)

P(Defectuoso)... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad, Estadística y Geometría Matemática" »

Valores Críticos

Si f'(Xo)=0 → Xo Valor crítico estacionario. Si f'(Xo)=ε → Xo Valor crítico singular.

Ejemplos de Cálculo de Valores Críticos

a) f(x)= x² (1-x)² Df= R (-∞, +∞)

f'(x)= 2x (1-x)² + x² . 2 (1-x) . (-1) → f'(x)= 2x (1-x)² -2x² (1-x)

f'(x)= 2x(1-x) [1-x-x] FC. → f'(x)= 2x(1-x)(1-2x)

Valores críticos estacionarios 2x(1-x)(1-2x)=0

2x=0 X=0 ∈ Df 1-x=0 X=1 ∈ Df 1-2x=0 X=1/2 ∈ Df

b) F(x)=X √8-x Df (-∞, 8]

8-x≥0 8≥x x≤8

f(x)= X(8-x)^1/2 f'(x)= (8-x) ^1/2 + x . 1/2(8-x)^-1/2 (-1)

f'(x)= √8-x = X f'(x)= (2(√8-x)² -x) / (2√8-x) f'(x)= (16-2x-x) / (2√8-x) f'(x)= (16-3x) / (2√8-x)

VC Estacionarios (16-3x) / (2√8-x) =0 16-3x=0 x=16/3 ≈5,33 ∈ Df VCE

VC Singular. 2√8-x =0 (√8-x)²=(0)² 8-x=0 X=8 ∈ Df VCS

Extremos

Intervalos

Dados los números reales a y b, siendo a < b, llamaremos intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Estos se denominan extremos del intervalo: a es el extremo izquierdo o inferior y b el extremo derecho o superior.

• Intervalo cerrado: es aquel que contiene a sus extremos. Ejemplo: [a, b].
• Intervalo abierto: es aquel que no contiene a sus extremos.

Diferencial e incremento de una función

El concepto de diferencial surge del concepto de derivada. Supongamos que una función y = f(x) tiene una derivada en un intervalo [a, b]. En un punto cualquiera del mismo, su derivada se calcula mediante la expresión:

Lim_x→0 ∆y/∆x = f'(x) (sabiendo que f'(x) en un punto es un número real).

Es decir, entonces cuando el... Continuar leyendo "Conceptos fundamentales de cálculo: intervalos, diferenciales, extremos y funciones crecientes y decrecientes" »

i) Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.

ii) Toda sucesión de números reales monótona y no acotada es divergente.

Demostración

i) Supongamos que {xn} es una sucesión de números reales creciente y mayorada y sea x = sup {xn : n ∈ N} . Dado ε ∈ R⁺, existe m ∈ N tal que xm > x-ε . Consideremos un natural n tal que n ≥ m. Entonces, x ≥ xn ≥ xm y por tanto |xn - x| = x - xn ≤ x - xm < ε. Se prueba así que {xn} converge a x.

De forma análoga se demuestra que si {xn} es una sucesión de números reales decreciente y minorada entonces {xn} es convergente con lim xn = inf {xn : n ∈ N} .

Esto concluye la demostración del primer apartado pues cualquier sucesión monótona y acotada se encuentra... Continuar leyendo "Convergencia de Sucesiones Reales y Complejas: Teoremas y Demostraciones" »

Tipos de Conocimiento

Conocimiento vulgar: Saber alcanzado por la experiencia.

Conocimiento científico: Aquel saber concebido mediante una metodología y basado en conocimientos preexistentes.

Componentes Clave de la Investigación

Investigación científica: Búsqueda de conocimiento siguiendo procedimientos establecidos.

Unidad de análisis: Son entidades identificables, numerables o computables.

Variables: Características o cualidades en estudio, observables en una unidad de análisis, que integran el contenido del dato científico.

Universo: Determinación de los objetos, fenómenos o hechos incluidos en la investigación, cuyo conocimiento alcanzado debe poder extenderse a otras situaciones o fenómenos en igualdad de condiciones.

Universo o

Pasos para el Procesamiento de Datos

Los siguientes pasos describen el proceso para el procesamiento de datos en una investigación:

1. Obtención de la información de la población o muestra objeto de la investigación.
2. Definición de las variables o los criterios para ordenar los datos obtenidos del trabajo de campo.
3. Definición de las herramientas estadísticas y del programa de cómputo que se utilizará en el procesamiento de datos.
4. Introducción de los datos en el computador y activación del programa para que procese la información.
5. Impresión de los resultados.

Consideraciones Clave en el Análisis de Resultados

1. Cotejar diferentes resultados para asegurar congruencia y, en caso de inconsistencia lógica, revisarlos nuevamente. Asimismo, se debe

Càlcul d'Àrees i Volums de Figures Geomètriques

Àrea de la Superfície d'un Políedre

L'àrea de la superfície d'un políedre serà la suma de les àrees de les seves cares. Es tallen les cares i es disposen sobre un pla. La figura formada té una àrea que es pot calcular fàcilment.

Desenvolupament Pla i Àrea de Prismes

El desenvolupament pla d'un prisma està compost per un rectangle i els dos polígons que formen les bases. Un dels costats del rectangle coincideix amb el perímetre de la base, i l'altre amb l'altura del prisma. L'àrea lateral és igual al perímetre de la base per l'altura. L'àrea total és la suma de l'àrea lateral i l'àrea de les bases.

Prismes Oblics

Les fórmules utilitzades per a calcular la superfície de prismes... Continuar leyendo "Geometria: Àrees, Volums i Desenvolupament Cognitiu" »

1. Reducción del Error Estándar de la Media

Una muestra de tamaño 100 tiene un error estándar de la media de 30. ¿Qué habría que hacer para reducir este error estándar a 15?

Datos iniciales:

• Tamaño de la muestra inicial (n₁): 100
• Error estándar de la media inicial (SE₁): 30

Sabemos que el error estándar de la media se calcula como SE = σ/√n, donde σ es la desviación típica poblacional.

A partir de los datos iniciales, podemos estimar σ:

$$ SE_1 = \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}} \Rightarrow 30 = \frac{\sigma}{\sqrt{100}} \Rightarrow 30 = \frac{\sigma}{10} \Rightarrow \sigma = 300 $$

Ahora, queremos reducir el error estándar a 15 (SE₂ = 15) manteniendo la misma desviación típica poblacional (σ = 300). Necesitamos encontrar el nuevo... Continuar leyendo "Estadística Inferencial: Muestreo, Estimación y Distribuciones" »

Definición de Elasticidad de Coste

La elasticidad de coste (EC) es la variación porcentual que experimenta el coste total cuando la producción varía en un 1%. Se calcula como:

EC = Coste Marginal (CM) / Coste Medio (CMe)

Se clasifica en:

• EC = 1: No existen ni economías ni deseconomías de escala.
• EC > 1: Existen deseconomías de escala.
• EC < 1: Existen economías de escala.

Relación Marginal de Sustitución Técnica (RMST)

La RMST de capital (K) por trabajo (L) es la cantidad en que puede reducirse el capital cuando se utiliza una unidad adicional de trabajo, permaneciendo la producción constante. Se calcula como:

RMST = Variación de la cantidad de K / Variación de la cantidad de L

La RMST está estrechamente relacionada con la producción... Continuar leyendo "Elasticidad de Coste, Producción y Optimización Empresarial: Conceptos Clave" »

Dominio de Funciones

El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores posibles de x para los cuales f(x) está definida.

• Constante: R (Todos los números reales)
• Lineal: R
• Cuadrática: R
• Racionales: R \ {n} (Todos los reales excepto los valores que anulan el denominador)
• Arco de Circunferencia (Funciones Trigonométricas Inversas): [-n, n] (El argumento debe estar en este intervalo, por ejemplo, para arcsen(x) es [-1, 1])
• Radicales:
  • Índice Impar: El dominio de la función es el dominio del radicando.
  • Índice Par: El radicando P(x) debe ser mayor o igual a cero (P(x) ≥ 0).
• Valor Absoluto: R
• Signo (sgn): R
• Parte Entera: R
• Trigonométricas (Sen, Cos): R (Para Tan, Sec, Csc, Cot, se excluyen los valores que anulan el denominador)

Cálculo