Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Lege Indarreko Arauen Konstituzionalitate Kontrola

Konstituzionalitate kontrolak planteatzen duen lehen arazoa da zein arau sartu behar diren kategoria horretan zehaztea. Auzitegi Konstituzionalaren Lege Organikoko (AKLO) 27.2. artikuluak galdera horri erantzuten dio, honako arau hauek biltzen dituelarik:

Kontrolpean dauden arauak (AKLO 27.2)

• Estatutu Organikoak
• Lege Organikoak
• Lege Arruntak
• Lege Dekretuak
• Dekretu Legegileak
• Nazioarteko Tratatuak
• Ganbaretako eta Gorte Orokorretako Erregelamenduak
• Aurreko kategorien balio berdinarekin Autonomia Erkidegoek eman ditzaketen arauak: legeak, dekretu legegileak eta beraien legebiltzarretako erregelamenduak.

Kontrolaren irismena eta arazo praktikoak

AKLOko 27.2. artikuluak ematen duen zerrenda horretan, praktikan... Continuar leyendo "Konstituzionalitate Kontrola: Arauak eta Arazo Praktikoak" »

Definición

En física, el trabajo mecánico se define como el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y el desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento.

Fórmula

La fórmula general del trabajo mecánico es:

L = F * D * cos(α)

Donde:

• L: Trabajo
• F: Fuerza
• D: Distancia
• α: Ángulo comprendido entre la fuerza y el desplazamiento

Casos Particulares

Dependiendo del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, se presentan los siguientes casos:

Caso 1: Fuerza en la dirección del desplazamiento (α = 0°)

L = F * D * cos(0°) = F * D * 1

L = F * D

Caso 2: Fuerza con un ángulo agudo

ESTADO DE RESULTADOS
   Ítem/AÑO 0 1
2
3
4 5    Demanda Mercado   45.000 45.150 45.500 46.200 46.500    Demanda Empresa (20%)   9.000 9.030 9.100 9.240 9.300    Precio    $                             7  $                              7  $                                  7  $                        7  $                            7    Ing  x Vta    $                  63.000  $                    63.210  $                       63.700  $             64.680  $                 65.100... Continuar leyendo "Socio a: efectivo 20.000.000 : un carro 32.000.000;mercancías 230.000.000" »

Teorema de Rolle

Teorema 55 (Rolle) Sea f : [a, b] → R una función continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0 (ver Figura 68). Estos valores c se llaman puntos críticos de f.

Demostración: Si f es continua en [a, b], el Teorema 45 (de Weierstrass) garantiza que existen puntos e, d ∈ [a, b] donde f alcanza su máximo y su mínimo, respectivamente.

• Si e es punto interior de [a, b], existe un δ > 0 tal que (e − δ, e + δ) ⊂ (a, b). Entonces, para valores de h tales que |h| < δ, f(e + h) está bien definido y f(e + h)−f(e) ≤ 0 (pues f(e) es máximo). En este caso, notar que estos límites existen pues f es diferenciable. Como f'(e) ≥

Fundamentos de la Conglomeración Estadística: Conceptos y Métodos Clave

La conglomeración, o clustering, es una técnica fundamental en la estadística multivariante y el aprendizaje no supervisado. A continuación, se presenta un glosario detallado de los términos esenciales utilizados en los procedimientos de agrupación de entidades.

I. Elementos Centrales y Representación Gráfica

Centroide

Valores medios de las entidades de un conglomerado en cada una de las variables utilizadas.

Semilla de Conglomerados

Centros iniciales o puntos de partida para los conglomerados. Son valores individuales seleccionados para iniciar los procedimientos no jerárquicos.

Dendrograma

Representación gráfica de los resultados de un procedimiento jerárquico... Continuar leyendo "Vocabulario Esencial de la Conglomeración Estadística: Métodos, Distancias y Representaciones" »

Ejercicios Resueltos de Cálculo Multivariable y Optimización

Ejercicio 1: Conjuntos, Continuidad y Optimización con Teorema de Weierstrass

A) Dibuja el conjunto S = {(x, y) ∈ ℝ² / y ≤ 4 + 2x, y ≥ x² – 4, xy ≥ 0} y determina, justificando las respuestas, si es cerrado, acotado, compacto y/o convexo.

El conjunto S es cerrado. S está acotado, ya que S ⊂ B((0, 0), 13). S es compacto, ya que es cerrado y acotado. S no es convexo. Efectivamente, sean (–1, 0) ∈ S y (0, 1) ∈ S. Probaremos que el segmento L[(–1, 0), (0, 1)] ⊄ S, ya que, por ejemplo, el punto medio del segmento (–1/2, 1/2) ∉ S, pues (–1/2)·(1/2) = –1/4 < 0.

B) Si f(x, y) = x + y, justifica, usando el teorema de Weierstrass, si el problema de maximización

Sucesiones de Números Reales

Definiciones

Definición: Una sucesión en R es una aplicación x : N → R.

Definición: Una subsucesión de {x_n}_n∈N viene dada por una sucesión n₁ n₂ n_k x_nk}_k∈N.

Límite de una Sucesión de Números Reales

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• x_n → l o lím x_n = l si ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ |x_n − l| x_n}_n∈N es convergente y converge a l.

Ejemplo: x_n = 1/n.

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• lím x_n = +∞ (sucesión divergente a +∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n > k.
• lím x_n = −∞ (sucesión divergente a −∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n k.

En ese caso, se dice que la sucesión... Continuar leyendo "Sucesiones de Números Reales: Conceptos y Propiedades" »

Características y Propiedades de las Funciones Matemáticas

A continuación, se detallan las propiedades fundamentales para estudiar y representar una función matemática.

1. Dominio

Conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida.

2. Recorrido o Imagen

Conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y).

3. Continuidad y Puntos de Discontinuidad

Una función es continua en su dominio si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Si presenta saltos o interrupciones, es discontinua. Los valores donde se rompe la gráfica se denominan puntos de discontinuidad (por ejemplo, en x=a).

4. Simetría

Una función puede presentar dos tipos de simetría:

• Par: Si f(x) = f(-x), la función es simétrica respecto al eje

Diseño de Investigación y Comparación de Medias

Diseño independiente: La variable dependiente (VD) solo se mide una vez en cada sujeto. Comparamos la media de dos grupos formados por personas diferentes. Diseño dependiente: La VD se mide dos (o más) veces en cada sujeto. Comparamos la media de algo que se ha medido dos veces en los mismos sujetos.

Visualización de Diferencias entre Medias

1º Paso: Analizar gráficos de barras o gráficos de líneas:

• Permiten ver la diferencia de medias.
• Conviene añadir las barras de error.
• Si las barras no se tocan, probablemente las diferencias serán significativas.

El T-Test

Aplicar un test estadístico: El T-Test:

• T-test para muestras independientes: Diseño Independiente.
• T-test para muestras dependientes: