Resolución de Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Sección 1: EDO Homogénea de Segundo Orden (Raíces Reales Distintas)

Cálculo de la Solución Particular mediante Condiciones Iniciales

Ecuación Diferencial:

$$ \frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} - 8y = 0 $$

Valores Iniciales:

• $y(0) = 3$
• $y'(0) = -12$

Paso 1: Determinación de la Ecuación Característica

Proponiendo la solución $y(t) = e^{rt}$, la ecuación auxiliar es:

$$ r^2 + 2r - 8 = 0 $$

Paso 2: Cálculo de las Raíces

Factorizando el polinomio:

$$ r^2 + 4r - 2r - 8 = 0 $$

$$ r(r+4) - 2(r+4) = 0 $$

$$ (r+4)(r-2) = 0 $$

Las raíces son $r_1 = -4$ y $r_2 = 2$.

Paso 3: Solución General

La solución general es:

$$ y(t) = c_1e^{-4t} + c_2e^{2t} $$

Paso 4: Aplicación de las Condiciones

Conceptos Fundamentales de Vectores

Definiciones y Operaciones Básicas

Combinación Lineal

Un vector W es una combinación lineal de los vectores u₁, u₂, u₃ si puede expresarse como:

W = λ₁u₁ + λ₂u₂ + λ₃u₃

donde λ₁, λ₂, λ₃ son escalares.

Versor Asociado (Vector Unitario)

El versor asociado a un vector U (también conocido como vector unitario) se obtiene dividiendo el vector por su módulo:

U₀ = U / ||U||

Punto Medio de un Segmento

El punto medio de un segmento definido por los puntos P₁=(x₁, y₁) y P₂=(x₂, y₂) se calcula como:

P_medio = ((x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2)

Versores Canónicos (Vectores Base)

Los versores canónicos en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional son:

• i = (1, 0, 0)
• j

Comentario Crítico: Estructura y Elementos Clave

Un comentario crítico se estructura de la siguiente manera:

• Introducción: Un párrafo que presenta el objetivo e intención del texto.
• Desarrollo: Dos párrafos que critican los argumentos del autor, presentando tus propios argumentos.
• Conclusión: Tres párrafos que resumen las ideas principales, utilizando conectores para una mejor fluidez.

Análisis Textual: Sintaxis y Entonación

Sintaxis del texto:

• Entonación: Se analiza a través de las modalidades oracionales:
  • Enunciativa: Expone un hecho. (Predominante en textos periodísticos)
  • Interrogativa: Formula una pregunta.
  • Exclamativa: Expresa emoción.
  • Exhortativa: Expresa una orden o consejo.
  • Desiderativa: Expresa un deseo del hablante.

Sintaxis:

• Sencilla:

Ensayos genéticos: Una de las empresas más importantes en la producción y comercialización de material mejorado genéticamente ha establecido en ensayo clonal con material selecto de Eucalyptus globulus. Cincuenta clones seleccionados por su fenotipo se han reproducido mediante estaquillado y se han plantado en seis localidades. Tras el análisis de los datos del ensayo se han estimado los coeficientes de correlación genética de tipo B para la altura a los 10 años que aparecen en la siguiente tabla:Basándote únicamente en la información de esta tabla haz una recomendación sobre zonas homogéneas para la reproducción masiva del material ensayado justificando tu propuesta.

El coeficiente de correlación genética de tipo B (r_B) cuantifica... Continuar leyendo "Evaluación Genética de Eucalyptus globulus: Correlación Tipo B y Equilibrio Poblacional" »

Rectes en el Pla: Fórmules i Conceptes Clau

Equacions de la Recta

Sigui P(x₀, y₀) un punt de la recta i v=(a, b) el seu vector director.

• Forma Vectorial

  Fórmula: (x, y) = (x₀, y₀) + k(a, b), on k ∈ ℝ.

• Forma Paramètrica

  Sistema d'equacions obtingut de la forma vectorial.

  Fórmules: x = x₀ + ka; y = y₀ + kb, on k ∈ ℝ.

• Forma Contínua

  S'obté aïllant el paràmetre k.

  Fórmula: (x - x₀) / a = (y - y₀) / b

• Forma Implícita (o General)

  S'obté eliminant denominadors i igualant a zero. El vector director és v=(-B, A).

  Fórmula: Ax + By + C = 0

  Nota: També es pot expressar com: bx - ay - bx₀ + ay₀ = 0.

• Forma Explícita

  S'obté aïllant y. El pendent és m = -A/B = tg(α) i n és l'ordenada a l'origen (0, n).

  Fórmula: y = mx + n

• Forma

SUBSTANTIVO

Cambio de Xénero e Cambio de Significado

Polinomio de Taylor

Sea f(x) ∈ C^∞

Definición: El polinomio de Taylor de f en torno a x₀ de grado n es la serie truncada en el término de grado n, i.e.

Teorema: La serie de Taylor coincide con el polinomio de grado n, salvo un resto, i.e:

Nota: La serie y/o el polinomio de Taylor se pueden calcular en torno a cualquier punto x₀.

Espacios Vectoriales

Definición: V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, si está dotado de una operación interna (+: suma) y una externa (*: producto de un elemento de K por uno de V) tal que:

1. (V, +) es un grupo conmutativo
2. *: K x V → V verifica:
   1. t(v + w) = tv + tw
   2. (t + s)v = tv + sv
   3. t(sv) = (ts)v
   4. 1v = v
   (t, v) → t * v

Definición: Los elementos de V son vectores; los de K, escalares.

Definición: Un subconjunto S... Continuar leyendo "Álgebra Lineal: Resumen de Conceptos Clave" »

En el estudio de la estadística descriptiva, es fundamental comprender cómo las medidas de tendencia central, como la moda y la mediana, reaccionan ante pequeñas variaciones o errores en los datos. A continuación, exploraremos diferentes escenarios para observar la robustez de estas medidas.

Exploración de la Moda

La moda representa el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Analicemos cómo un cambio en un dato específico puede o no alterar este indicador.

Escenario 1: Recálculo de la Moda tras una Corrección de Datos

Consideremos un conjunto de datos inicial (implícito en el problema original) y un error de transcripción. Si un compañero que inicialmente se registró con 7 hermanos en realidad tiene 6, es necesario... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva: Impacto de la Variación de Datos en la Moda y la Mediana" »

Quines són les propietats de la suma i la multiplicació?

Commutativa: L'ordre dels factors no altera els productes.

A + B = B + A       A * B = B * A

Associativa: Si en la suma i la multiplicació de 3 nombres es canvia l'agupació dels summands o factors, s'obté el mateix resultat.

(A + B) + C = A + (B + C)       (A * B) * C = A * (B * C)

Distributiva: La multiplicació d'un nombre per una suma és igual a la suma de les multiplicacions de tal nombre per cadascun dels summands.

A * (B + C) = A * B + A * C

Quins són els elements neutres en matemàtiques?

En la suma i la resta és el 0 i en la multiplicació i la divisió és el 1.

Per què no modifiquen el resultat de l'operació.

Quins són els elements de la divisió?

Dividend, divisor,... Continuar leyendo "Propietats de la Suma i la Multiplicació" »

Las leyes de Mendel

Fueron publicadas en 1866 pero se ignoraron durante más de treinta años hasta que en 1900 los resultados fueron enunciados en forma de tres leyes, por otros investigadores.

1. Primera Ley de Mendel

Cuando se cruzan dos individuos distintos de raza pura, todos los descendientes de la primera generación filial son iguales entre sí, tanto en el genotipo como el fenotipo. Esta ley también se conoce como ley de la uniformidad de los híbridos de la primera generación filial.

El fenotipo de la descendencia es igual al fenotipo de uno de los progenitores (si existe dominancia entre alelos) dado que los fenotipos de los individuos homocigóticos dominantes y heterocigóticos coinciden cuando hay dominancia completa, el cruce entre... Continuar leyendo "Las Leyes de Mendel: Fundamentos de la Herencia Genética" »