Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Integral Curvilínea: Definición y Tipos

La integral curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Integral Curvilínea en un Campo Escalar

Para f : R² → R, un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t) = x(t)i + y(t)j con t [a, b], está definida como:

Integral Curvilínea en un Campo Vectorial

Para F : Rⁿ → Rⁿ un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t {\displaystyle \in } [a, b], está definida como:

Integrales Múltiples: Doble y Triple

La integral de una función positiva de una variable... Continuar leyendo "Fundamentos del Cálculo Vectorial: Integrales Curvilíneas, Múltiples y Continuidad" »

Tercera Evaluación: Bloque I

1. Aplicación de Matrices en la Construcción

Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S (Sencillas), N (Normales) y L (Lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña. Tipo N: 2 grandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Tipo L: 4 grandes, 10 medianas y 3 pequeñas. Las especificaciones de las ventanas son:

• Ventana grande: 4 cristales y bisagras.
• Ventana mediana: 2 cristales y 4 bisagras.
• Ventana pequeña: 1 cristal y 2 bisagras.

Se solicita:

• A) Escribe la matriz del número y tamaño de ventanas de cada tipo de vivienda y otra con el número de cristales y bisagras de cada ventana.
• B) Calcula una matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesarios en cada

Números Complejos: Fundamentos y Operaciones

Los números complejos son expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales. Si a = 0 y b ≠ 0, tenemos un número imaginario puro. Si b = 0, tenemos un número real.

Forma Rectangular

La forma a + bi se denomina forma rectangular, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Igualdad de Números Complejos

Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales: a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d.

Conjugado de un Número Complejo

El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a - bi. Para obtener el conjugado, se cambia el signo de la parte imaginaria.

Operaciones con Números Complejos

Suma

La suma de dos números complejos... Continuar leyendo "Números Complejos: Definición, Operaciones y Representación Gráfica" »

Iturri berriak erabiltzen hasi ziren aukera berriak ematen zituztenak: elektrizitatea eta petrolioa. Industria berriak INDUSTRIA SIDERURGIKOA: Bessemer bihurgailuaren asmakuntzak (1856) ekoizpen prozesua izugarri abiarazi zuen, labe mota honek ekoizpen kosteak gutxitzen baitzituen (altzairu kopuru handiak merkeago ekoitzi ahal ziren). Ondorioz, siderurgiak garrantzi handia eskuratu zuen, arlo askotan baliogarria zelako industria hau (armagintzan, arkitektura, ontzigintzan, ingeniaritzan…)

ELEKTRIZITATE – INDUSTRIA:

elektrizitatea ekoitzi eta banatu ahal izateko sortu zen. Honi esker, garraio (trenbide elektrikoa, metroa, tranbia…) eta komunikabide (telefonoa, irratia…) mota berriak sortu ziren, eguneroko bizitza asko aldatuz.

KIMIKA –

Variables Aleatorias y Medidas Estadísticas

Variables Discretas

(Representación Gráfica: Diagrama de Bastones)

Conceptos Fundamentales

Función de Cuantía (p(x))

• p(x) = P(X=x)

Propiedades:

• p(x) ≥ 0
• ∑ p(x_i) = 1

Función de Distribución Acumulada (F(a))

• F(a) = P(X ≤ a) = ∑ p(x_i)

Cálculo de Probabilidades

• P(X ≤ a) = ∑ p(x_i)
• P(a ≤ X ≤ b) = ∑ p(x_i)

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

Esperanza Matemática (E(X) o μ)

• E(X) = μ = ∑ x_i · p(x_i)

Varianza (V(X))

• V(X) = ∑ (x_i - μ)² p(x_i)

Fórmula de Cálculo Alternativa: V(X) = E(X²) - E(X)²

• Para Variable Discreta: E(X²) = ∑ x_i² · p(x_i)
• Para Variable Continua: E(X²) = ∫ x² · f(x) dx

Coeficiente de Variación (CV(X))

• CV(X) = DS(X) / E(X)

Nota: Un valor más bajo del CV indica... Continuar leyendo "Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Modelos Estadísticos" »

Funció de demanda

La funció de demanda relaciona les quantitats òptimes amb les variables de mercat. En un punt de la corba d'indiferència més alta, si dibuixem la tangent, aquesta coincideix amb la recta pressupostària.

Tipus de funcions d'utilitat

• Lineal (Substituts perfectes): a₁x₁ + a₂x₂. La RMS és constant: -a₂/a₁. Són corbes convexes i fortament monòtones.
• Cobb-Douglas: x₁ᵃ¹ · x₂ᵃ². Són corbes decreixents i estrictament convexes. La utilitat augmenta a mesura que ens allunyem de l'origen (0,0). Si la utilitat marginal és positiva, tenim monotonia forta. Demanda: x₁ = a₁ · m / p₁ i x₂ = a₂ · m / p₂.
• Leontief (Complements perfectes): min(x₁/a₁, x₂/a₂). Són corbes convexes (no estrictament)

Formulario de Derivadas y Conceptos Fundamentales de Cálculo

Reglas Básicas de Derivación

• Función Potencial Simple (Potencia): Exponente $\cdot X$ elevado a un grado menos.
  • Ejemplo 1: $D(x^{-3}) = -3x^{-4}$
  • Ejemplo 2: $D(8x^2) = 16x$
• Suma y Resta: Derivada de $f(x) \pm$ Derivada de $g(x)$.
  • Ejemplo: $D(-4x^3+x-2) = -12x^2+1$
• Producto: $D(f(x) \cdot g(x)) = D(f(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot D(g(x))$
• Cociente: $D\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{D(f(x)) \cdot g(x) - f(x) \cdot D(g(x))}{g(x)^2}$

Derivación de Funciones Compuestas (Regla de la Cadena)

• Funciones Potenciales Compuestas: Exponente $\cdot$ función elevada a un grado menos $\cdot$ derivada de la base.
  • Ejemplo: $D((4x^2-\frac{x}{3})^2) = 2 \cdot (4x^2-\frac{x}{3}) \cdot (8x-\frac{1}{3})

Ejercicio 1: Estudiantes Universitarios

En una universidad en la que solo hay estudiantes de ingeniería, ciencias y letras, finalizan la carrera el 5% de los ingenieros, el 10% de los científicos y el 20% de los estudiantes de letras. Se sabe que el 20% estudian ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Calcular el porcentaje de estudiantes de ingeniería que han finalizado la carrera.

• 0,2 (Ingeniería) - 0,05 (Aprueban)
• 0,3 (Ciencias) - 0,1 (Aprueban)
• 0,5 (Letras) - 0,2 (Aprueban)

P(aprobar ingeniería) = 0,2 x 0,05 = 0,01

Ejercicio 2: Incidencia de Enfermedad

Un 10% de las personas que viven en cierta ciudad han padecido determinada enfermedad. Si se examinan 3 personas, ¿cuál es la probabilidad de que alguna de ellas haya tenido la enfermedad?... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Conceptos y Aplicaciones" »

Simulación Monte Carlo

La Simulación Monte Carlo (SMC) es una técnica avanzada utilizada para resolver sistemas complejos cuyos elementos están regidos por el azar. La base de la SMC es la experimentación con variables probabilísticas a través de un muestreo aleatorio. El modelo simula estos fenómenos y los aproxima mediante el uso de números aleatorios.

Variables probabilísticas en sistemas cotidianos

Muchos sistemas reales cuentan con variables de naturaleza probabilística que pueden ser simuladas. Algunos ejemplos comunes incluyen:

• Demanda de inventario diario o semanal.
• Plazo de entrega para la recepción de pedidos de inventario.
• Tiempo entre descomposturas de maquinaria.
• Tiempos entre llegadas en una instalación de servicio.

Los cinco