Ejercicios de Álgebra Lineal: Matrices, Determinantes y Optimización

Tercera Evaluación: Bloque I

1. Aplicación de Matrices en la Construcción

Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S (Sencillas), N (Normales) y L (Lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña. Tipo N: 2 grandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Tipo L: 4 grandes, 10 medianas y 3 pequeñas. Las especificaciones de las ventanas son:

• Ventana grande: 4 cristales y bisagras.
• Ventana mediana: 2 cristales y 4 bisagras.
• Ventana pequeña: 1 cristal y 2 bisagras.

Se solicita:

• A) Escribe la matriz del número y tamaño de ventanas de cada tipo de vivienda y otra con el número de cristales y bisagras de cada ventana.
• B) Calcula una matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesarios en cada tipo de vivienda.

2. Propiedades de las Matrices Cuadradas

Sean A y B dos matrices cuadradas cualesquiera de segundo orden. Responde razonadamente:

• A) ¿Es cierta la igualdad (A + B)² = A² + 2AB + B²?
• B) ¿Y la igualdad (A + B)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ?

3. Cálculo de Matriz Inversa y Ecuaciones Matriciales

Sean las matrices A = [ ] y B = [ ].

• A) Calcula la inversa y comprueba que B es la inversa de A.
• B) Calcula la matriz (A - 2I)², donde I es la matriz identidad.
• C) Calcula la matriz X tal que AX = B.

4. Resolución de Ecuaciones Matriciales Complejas

Sean las matrices A = [ ] y B = [ ]. Halla una matriz X tal que 2X - BA = AB.

5. Teoría de Determinantes

Indica detalladamente las propiedades de los determinantes.

Tercera Evaluación: Bloque II

1. Análisis de Matrices con Parámetros

Se considera la matriz A(t) = [ ].

• A) Determinar los valores del número real t para los que la matriz A(t) tiene inversa.
• B) Halla la inversa por determinantes de A(t) para t = -1.

2. Discusión de Sistemas de Ecuaciones

• A) Discute, en función del parámetro k, el sistema [ ].
• C) Resuélvelo para los casos k = 0 y k = 2.

3. Problema de Sistemas: Envasado de Bombones

En una confitería envasan bombones en cajas de 250g, 500g y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas, habiendo 5 más de 250g que de 500g. Sabiendo que el precio de los bombones es de 40€/kg y que el importe total asciende a 1250€:

• A) Plantea un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo.
• B) Resuelve el problema.

4. Programación Lineal y Optimización de Recursos

Una empresa de construcción está formada por 20 oficiales y 12 peones. Para un trabajo necesita organizar dos grupos:

• Tipo A: Un oficial y un peón. Ingresos: 1500€ mensuales.
• Tipo B: Dos oficiales y un peón. Ingresos: 2000€ mensuales.

¿Cómo se han de distribuir los trabajadores para obtener el ingreso máximo?